Contributions à l'étude des partitions spectrales minimales

• Main Author: Léna, Corentin
• Other Authors: Paris 11
• Language: fr; en
• Published: 2013
• Subjects: Théorie spectrale; Partitions minimales; Domaines nodaux; Hamiltonien d'Aharonov-Bohm; Simulations numeriques; Méthode des éléments finis; Méthode des différences finies; Optimisation; Spectral theory; Minimal partitions; Nodal domains; Aharonov-Bohm Hamiltonian; Numerical simulations; Finite element method; Finite difference method; Optimization
• Online Access: http://www.theses.fr/2013PA112354/document

Ce travail porte sur le problème des partitions minimales, à l'interface entre théorie spectrale et optimisation de forme. Une introduction générale précise le problème et présente des résultats, principalement dûs à B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof et S. Terracini, qui sont utilisés dans le reste de la thèse.Le premier chapitre est une étude spectrale asymptotique du laplacien de Dirichlet sur une famille de domaines en dimension deux qui tend vers un segment. L'objectif est d'obtenir une localisation des lignes nodales dans la limite des domaines minces. En appliquant les résultats de Helffer, Hoffmann-Ostenhof et Terracini, on montre ainsi que les domaines nodaux des premières fonctions propres forment des partitions minimales.Le deuxième chapitre étudie les valeurs propres de certains opérateurs de Schrödinger sur un domaine plan avec condition au bord de Dirichlet. On considère des opérateurs qui ont un potentiel électrique nul et un potentiel magnétique d'un type particulier, dit d'Aharonov-Bohm, avec des singularités en un nombre fini de points appelés pôles. On démontre que les valeurs propres dépendent continuement des pôles. Dans le cas de pôles distincts et éloignés du bord, on prouve que cette dépendance est analytique lorsque la valeur propre est simple. On exprime de plus une condition suffisante pour que la fonction qui aux pôles associe une valeur propre présente un point critique. On utilise alors la caractérisation magnétique des partitions minimales pour montrer que l'énergie minimale est une valeur critique d'une de ces fonctions.Le troisième chapitre est un article écrit en collaboration avec Virginie Bonnaillie-Noël. Il porte sur une famille d'exemples, les secteurs angulaires de rayon unité et d'ouverture variable, dont on tente de déterminer les partitions minimales. On applique pour cela les théorèmes généraux rappelés dans l'introduction afin de déterminer les partitions nodales qui sont minimales. On s'intéresse plus particulièrement aux partitions minimales en trois domaines. En appliquant les idées du deuxième chapitre, on montre que pour certaines valeur de l'angle, il n'existe aucune partition minimale qui soit symétrique par rapport à la bissectrice du domaine. D'un point de vue quantitatif, on obtient des encadrements précis de l'énergie minimale.Le quatrième chapitre consiste en l'étude des partitions minimales de tores plats dont on fait varier le rapport entre longueur et largeur. On utilise une méthode numérique très différente de celle du troisième chapitre, basée sur un article de B. Bourdin, D. Bucur et É. Oudet. Elle consiste en une relaxation suivie d'une optimisation par un algorithme de gradient projeté. On peut ainsi tester des résultats théoriques antérieurs. Les résultats présentés suggèrent de plus la construction explicite de familles de partitions (en liaison avec des pavages du tore) qui donnent une nouvelle majoration de l'énergie minimale.Un dernier chapitre de perspectives présente plusieurs applications possibles des méthodes décrites dans la thèse. === This work is concerned with the problem of minimal partitions, at the interface between spectral theory and shape optimization. A general introduction gives a precise statement of the problem and recall results, mainly due to B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof and S.Terracini, that are used in the rest of the thesis.The first chapter is an asymptotic spectral study of the Dirichlet Laplacian on a familly of two-dimensional domains converging to a line segment. The aim is to localize the nodal lines when the domains become very thin. With the help of the results of Helffer, Hoffmann-Ostenhof, and Terracini, we then show that the nodal domains of the first eigenfunctions give minimal partitions.The second chapter studies the eigenvalues of some Schrödinger operators on a domain with Dirichlet boundary conditions. We consider operators that have no electric potential and a so-called Aharonov-Bohm magnetic potential, which has singularities at a finite number of points called poles. We prove that the eigenvalues are continuous functions of the poles. When the poles are distinct and far from the boundary, we prove that this function is analytic, assuming the eigenvalue is simple. We also give a sufficient condition for the function to have a critical point. Using the magnetic characterization of minimal partitions, we show that the minimal enery is a critical value for one of these functions.The third chapter in an article written in collaboration with Virginie Bonnaillie-Noël. It studies minimal partitions for sectors of unit radius with a variable angular opening. We apply the general results presented in the introduction, together with numerical computations, to determine nodal partitions that are minimal. We focus on partitions into three domains. Using ideas from the second chapter, we show that, for some values of the angle, there is no minimal partition that is symmetric with respect to the bisector. Form a quantitative point of view, we obtain precise bounds on the minimal energy.The fourth chapter studies the minimal partitions of flat tori in function of the ratio between width and length. We use a numerical method that is quite different from chapter three, and is based on an article by B. Bourdin, D. Bucur, and É. Oudet. It consists in a relaxation of the problem, followed by optimization with the help of a projected gradient algorithm. The results shown here additionally suggest explicit families of partitions, which consist in tilings of tori by polygons, that give upper bounds on the minimal energy. In the last chapter we consider several possible applications of the methods described in the thesis.