| Summary: | 碩士 === 國立臺灣師範大學 === 數學研究所 === 89 === 本文主要從歷史的角度來看Liouville定理。所謂Liouville定理是指
$n\geq 3$維的保角變換，其實就是Mobius變換。
變換$x=(x^1,x^2,...,x^n) \rightarrow y=(y^1,y^2,...,y^n)$
稱為保角是指$|dy|=\lambda(x)|dx|$，其中$\lambda \geq 0$。
令$dx=(dx^1,dx^2,...,dx^n)$，$ dy=(dy^1,dy^2,...,dy^n)$代入，有
$$(dy^1)^2+(dy^2)^2+...+(dy^n)^2=\lambda^2(x)[(dx^1)^2+(dx^2)^2+...+(dx^n)^2]$$
設$A\in L(\Re^n,\Re^n)$使得：$(dy^1,dy^2,...,dy^n)=A(dx^1,dx^2,...,dx^n)$，則
$A^*A=I_n \lambda^2(x)$且$det(A)=\lambda(x) \geq 0$。
Liouville定理最先是Liouville於1850發表於法文期刊Application de l\'analyse[L]上，
他考慮三維Euclid空間變換$(x,y,z) \rightarrow (\zeta,\eta,\xi)$，若變換滿足下列方程：
$$d\zeta^2+d\eta^2+d\xi^2 = \lambda^2(dx^2+dy^2+dz^2)$$
其中$\lambda=\lambda(x,y,z) \geq 0$。Liouville證明其實$\lambda$只會滿足下列情況：
$$(1)\lambda=\mbox(2)\lambda=\frac \mbox$$
\begin
原先預想$\lambda$可能很複雜，但是最後總能簡化成上面非常簡單的型式。由此可解得滿足該變換條件只有是Mobius變換。
\end
在Liouville之後，許多人嘗試放寬限制，使得用最少的條件，我們照樣可以得到同樣的好結果。
到目前為止，所得到的最好結果是Gehring[G2]於1961年所給出的，之後的只作稍微的修正如[R3][Bo]。
本文中給出最近1990年[AVV]用擬保角得到的最新知識，給出較為簡潔的證明。
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