O fluxo espectral de caminhos de operadores de Fredholm auto-adjuntos em espaços de Hilbert

• Main Author: Jeovanny de Jesus Muentes Acevedo
• Other Authors: Pierluigi Benevieri
• Language: Portuguese
• Published: Universidade de São Paulo 2013
• Subjects: Espaços de Hilbert; Fluxo espectral; Índice de Morse; Operadores de Fredholm; Teoria espectral.; Fredholm operators; Hilbert spaces; Morse index; Spectral flow; Spectral theory.
• Online Access: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-01122017-214259/

O objetivo principal desta dissertação é apresentar o fluxo espectral de um caminho de operadores de Fredholm auto-adjuntos em um espaço de Hilbert e suas propriedades. Pelos resultados clássicos de teoria espectral, sabemos que se H é um espaço de Hilbert e L : H &#8594 H é um operador linear, limitado e auto-adjunto, H pode ser escrito como soma direta ortogonal H+(L)&#8853 H-(L)&#8853 Ker L, onde H+(L) e H-(L) são os subespaços espectrais positivo e negativo de L, respectivamente. No trabalho damos uma definição de fluxo espectral baseada na decomposição acima, aprofundando as conexões deste conceito com a teoria espectral dos operadores de Fredholm em espaços de Hilbert. Entre as propriedades do fluxo espectral, será analisada a invariância homotópica que se apresenta em várias formas. Veremos o conceito de índice de Morse relativo, que estende o clássico índice de Morse, e sua relação com o fluxo espectral. A construção do fluxo espectral dada neste trabalho segue a abordagem de P. M. Fitzpatrick, J. Pejsachowicz e L. Recht em [9]. === The main purpose of this dissertation is to present the spectral flow of a path of selfadjoint Fredholm operators in a Hilbert space and its properties. By classical results in spectral theory, we know that, if H is a Hilbert space and L : H &#8594 H is a bounded self-adjoint linear operator, H may be written as the following orthogonal direct sum H = H+(L)&#8853 H-(L)&#8853 Ker L, where H+(L) and H-(L) are the positive and negative spectral subspaces of L, respectively. In this work we give a definition of spectral flow which is based on the above splitting, examining in depth the connection between this concept and the spectral theory of Fredholm operators in Hilbert spaces. Among the properties of the spectral flow we will analyze the homotopic invariance, which appears on different ways. We will see the concept of relative Morse index, which generalize the classical Morse index, and its relation with the spectral flow. The construction of the spectral flow given in this work follows the approach of P. M. Fitzpatrick, J. Pejsachowicz and L. Recht in [9].