Approximations polynomiales rigoureuses et applications

• Main Author: Joldes, Mioara Maria
• Language: English
• Published: Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON 2011
• Subjects: [INFO:INFO_AO] Computer Science/Computer Arithmetic; [INFO:INFO_AO] Informatique/Arithmétique des ordinateurs; [INFO:INFO_SC] Computer Science/Symbolic Computation; [INFO:INFO_SC] Informatique/Calcul formel; [INFO:INFO_NA] Computer Science/Numerical Analysis; [INFO:INFO_NA] Informatique/Analyse numérique; Calcul rigoureux; Calculs validés; Erreur d'approximation; Approximations polynomiales rigoureuses; Series de Chebyshev; Modèles de Taylor; Modèles de Chebyshev -; Arithmétique Flottante; Fonctions D-finies; Méthodes d'encadrement; Évaluation des fonctions; Opérateurs Matériels; Field Programmable Gate Arrays
• Online Access: http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00657843; http://tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/67/43/80/PDF/JOLDES_Mioara_-_Maria_2011_These.pdf

Quand on veut évaluer ou manipuler une fonction mathématique f, il est fréquent de la remplacer par une approximation polynomiale p. On le fait, par exemple, pour implanter des fonctions élémentaires en machine, pour la quadrature ou la résolution d'équations différentielles ordinaires (ODE). De nombreuses méthodes numériques existent pour l'ensemble de ces questions et nous nous proposons de les aborder dans le cadre du calcul rigoureux, au sein duquel on exige des garanties sur la précision des résultats, tant pour l'erreur de méthode que l'erreur d'arrondi.Une approximation polynomiale rigoureuse (RPA) pour une fonction f définie sur un intervalle [a,b], est un couple (P, Delta) formé par un polynôme P et un intervalle Delta, tel que f(x)-P(x) appartienne à Delta pour tout x dans [a,b].Dans ce travail, nous analysons et introduisons plusieurs procédés de calcul de RPAs dans le cas de fonctions univariées. Nous analysons et raffinons une approche existante à base de développements de Taylor.Puis nous les remplaçons par des approximants plus fins, tels que les polynômes minimax, les séries tronquées de Chebyshev ou les interpolants de Chebyshev.Nous présentons aussi plusieurs applications: une relative à l'implantation de fonctions standard dans une bibliothèque mathématique (libm), une portant sur le calcul de développements tronqués en séries de Chebyshev de solutions d'ODE linéaires à coefficients polynômiaux et, enfin, un processus automatique d'évaluation de fonction à précision garantie sur une puce reconfigurable.