Extremal and probabilistic problems in order types

• Main Author: Sales, Marcelo Tadeu de Sá Oliveira
• Other Authors: Kohayakawa, Yoshiharu
• Format: Others
• Language: en
• Published: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP 2018
• Subjects: Combinatória; Combinatorial geometry; Combinatorics; Geometria combinatória; Métodos probabilísticos; O-tipos; Order types; Probabilistic method
• Online Access: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-25042019-000504/

A configuration is a finite set of points in the plane. Two configurations have the same order type if there exists a bijection between them that preserves the orientation of every ordered triple. A configuration A contains a copy of a configuration B if some subset of A has the same order type of B and we denote this by B \\subset A. For a configuration B and a integer N, the extremal number ex(N,B)=max{|A|: B ot \\subset A \\subset [N]^2} is the maximum size of a subset of [N]^2 without a copy of B. We give an upper bound for general and convex cases. A random N-set is a set obtained by randomly choosing N points uniformly and independently in the unit square. A configuration is n-universal if contains all order types in general position of size n. We obtain the threshold for the n-universal property up to a log log factor, that is, we obtain integers N_0 and N_1 with log log N_1=O(log log N_0) such that if N >> N_1 (N << N_0), then a random N-set is n-universal with probability tending to 1 (tending to 0). We also determine a bound for the probability of obtaining a random set without a copy of a fixed configuration. === Uma configuração é um conjunto finito de pontos no plano. Duas configurações possuem o mesmo o-tipo se existe uma bijeção entre elas que preserva a orientação de toda tripla orientada. Uma configuração A contém uma cópia da configuração B se algum subconjunto de A possui o mesmo o-tipo que B e denotamos este fato por B \\subset A. Para uma configuração B e um inteiro N, o número extremal ex(N,B)=max{|A|: B ot \\subset A \\subset [N]^2} é o maior tamanho de um subconjunto de [N]^2 sem uma cópia de B. Neste trabalho, determinamos cotas superiores para o caso geral e para o caso convexo. Um N-conjunto aleatório é um conjunto obtido escolhendo N pontos uniformemente e independentemente ao acaso do quadrado unitário. Uma configuração é n-universal se contém todos os o-tipos de tamanho n. Determinamos o limiar da propriedade de um N-conjunto aleatório ser n-universal a menos de erros da ordem de log log, isto é, determinamos inteiros N_0 e N_1 com log log N_0=O(log log N_1) tais que se N >> N_1 (N << N_0), então o N-conjunto aleatório é n-universal com probabilidade tendendo a 1 (tendendo a 0). Também obtivemos cotas para a probabilidade de um conjunto aleatório não possuir determinado o-tipo.