Some algebraic and logical aspects of C&#8734-Rings

• Main Author: Berni, Jean Cerqueira
• Other Authors: Mariano, Hugo Luiz
• Format: Others
• Language: en
• Published: Biblioteca Digitais de Teses e Dissertações da USP 2018
• Subjects: Álgebra comutativa C∞ C&#8734-Anéis; C&#8734-Rings; Feixes e lógica; Sheaves and logic; Smooth commutative algebra
• Online Access: http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45131/tde-14022019-203839/

As pointed out by I. Moerdijk and G. Reyes in [63], C&#8734-rings have been studied specially for their use in Singularity Theory and in order to construct topos models for Synthetic Differential Geometry. In this work, we follow a complementary trail, deepening our knowledge about them through a more pure bias, making use of Category Theory and accounting them from a logical-categorial viewpoint. We begin by giving a comprehensive systematization of the fundamental facts of the (equational) theory of C&#8734-rings, widespread here and there in the current literature - mostly without proof - which underly the theory of C&#8734-rings. Next we develop some topics of what we call a &#8734Commutative Algebra, expanding some partial results of [66] and [67]. We make a systematic study of von Neumann-regular C&#8734-rings (following [2]) and we present some interesting results about them, together with their (functorial) relationship with Boolean spaces. We study some sheaf theoretic notions on C&#8734-rings, such as &#8734(locally)-ringed spaces and the smooth Zariski site. Finally we describe classifying toposes for the (algebraic) theory of &#8734 rings, the (coherent) theory of local C&#8734-rings and the (algebraic) theory of von Neumann regular C&#8734-rings. === Conforme observado por I. Moerdijk e G. Reyes em [63], os anéis C&#8734 têm sido estudados especialmente tendo em vista suas aplicações em Teoria de Singularidades e para construir toposes que sirvam de modelos para a Geometria Diferencial Sintética. Neste trabalho, seguimos um caminho complementar, aprofundando nosso conhecimento sobre eles por um viés mais puro, fazendo uso da Teoria das Categorias e os analisando a partir de pontos de vista algébrico e lógico-categorial. Iniciamos o trabalho apresentando uma sistematização abrangente dos fatos fundamentais da teoria (equacional) dos anéis C&#8734, distribuídos aqui e ali na literatura atual - a maioria sem demonstrações - mas que servem de base para a teoria. Na sequência, desenvolvemos alguns tópicos do que denominamos Álgebra Comutativa C&#8734, expandindo resultados parciais de [66] e [67]. Realizamos um estudo sistemático dos anéis C&#8734 von Neumann-regulares - na linha do estudo algébrico realizado em [2]- e apresentamos alguns resultados interessantes a seu respeito, juntamente com sua relação (funtorial) com os espaços booleanos. Estudamos algumas noções pertinentes à Teoria de Feixes para anéis &#8734, tais como espaços (localmente) &#8734anelados e o sítio de Zariski liso. Finalmente, descrevemos toposes classicantes para a teoria (algébrica) dos anéis C&#8734, a teoria (coerente) dos anéis locais C&#8734 e a teoria (algébrica) dos anéis C&#8734 von Neumann regulares.