Une approche non-simplement lacée aux structures amassées et aux potentiels

• Main Author: Nguefack, Bertrand
• Other Authors: Assem, Ibrahim
• Language: French
• Published: Université de Sherbrooke 2009
• Online Access: http://savoirs.usherbrooke.ca/handle/11143/5119

La théorie des algèbres amassées ainsi que leurs catégorifications par les catégories amassées et par les catégories 2-Calabi-Yau apportent à la théorie des représentations des algèbres de nouvelles techniques et de nouveaux outils dont l'intérêt ne cesse de croître. Dans cette thèse, nous proposons une approche non-simplement lacée à quelques-uns des aspects importants de ces nouvelles techniques et de ces nouveaux outils. De prime abord, nous nous intéressons aux structures amassées pour les catégories 2-Calabi-Yau étudiées par Buan, Iyama, Reiten et Scott dans [10], et nous en proposons une version non-simplement lacée lorsque le corps de base n'est plus nécessairement algébriquement clos, généralisant ainsi la version simplement lacée sur les corps algébriquement clos. Comme généralisation du théorème [10, 1.1.6], nous obtenons alors que les catégories 2-Calabi-Yau possèdent la version non-simplement lacée des structures amassées dès que l'existence d'une structure amassée faible est garantie. Et en guise d'une première application de l'existence de structures amassées non-simplement lacées, à l'aide des fonctions d'amas (généralisant les caractères d'amas) nous pouvons réaliser directement une large classe d'algèbres (et de sous-algèbres) amassées non-simplement lacées (encore dites anti-symétrisables) de type géométrique, avec la possibilité qu'un amas puisse avoir un nombre dénombrable de variables. En particulier, sur des corps non-algébriquement clos, il devient alors clair que les catégories amassées telles que définies dans [12] possèdent toujours une structure amassée non-simplement lacée induite par les objets inclinants amassés. Ce qui nous amène à notre second objectif lequel s'articule autour de deux principaux volets: le premier étant de proposer une notion adéquate de potentiel pour les carquois modulés et le second étant de généraliser les mutations de carquois avec potentiels aux carquois modulés avec potentiels. Les carquois avec potentiels ainsi que leurs mutations et leurs représentations sont introduits et étudiés par Derksen, Weyman et Zelevinsky dans [24]. Ici, nous commençons l'étude des carquois modulés avec potentiels et de leurs mutations, nous obtenons alors des versions généralisées de deux principaux résultats de [24]: notamment, au moins lorsque le corps de base est parfait, à une équivalence droite faible près nous montrons que la réduction des carquois modulés avec potentiels est toujours possible. Dans [11] Buan, Iyama, Reiten et Smith montrent que la mutation des carquois avec potentiels et la mutation des objets inclinants amassés dans une catégorie 2-Calabi-Yau sont compatibles et il existe un lien fort intéressant entre les algèbres inclinées 2-Calabi-Yau et les algèbres jacobiennes associées aux carquois avec potentiels; en particulier les algèbres inclinées amassées apparaissent comme algèbres jacobiennes des carquois avec potentiels. Ici, nous nous intéressons également à la généralisation des résultats principaux de [11]. Une conséquence qu'on peut tirer de notre étude est que, sur des corps parfaits, les algèbres inclinées amassées apparaissent aussi comme algèbres jacobiennes des carquois modulés avec potentiels. Dans le cas particulier des algèbres de représentation finie, nous obtenons une caractérisation complète et explicite des algèbres inclinées amassées de types A[indice inférieur n], B[indice inférieur n] et C[indice inférieur n], en termes d'algèbres jacobiennes des carquois modulés avec potentiels. Par ailleurs, pour un carquois avec potentiel Jacobi-fini (Q, W), Claire Amiot a construit dans sa thèse ([1], 2008) une catégorie amassée C[indice inférieur qw] généralisant la construction originelle de [12]. Nous proposons une version non-simplement lacée de la catégorie C[indice inférieur qw] en construisant pour chaque carquois modulé avec potentiel Jacobi-fini ([Special characters omitted.] ) une catégorie amassée [Special characters omitted.] . Et sous-réserve qu'un certain résultat de Bernhard Keller se généralise au contexte des carquois modulés, il suit que le résultat de Claire Amiot [1, 7.9, 7.10] admet une généralisation immediate comme suit: la catégorie amassée (non-simplement lacée) [Special characters omitted.] est aussi Hom-finie 2-Calabi-Yau et les algèbres jacobiennes des carquois modulés avec potentiels apparaissent elles-aussi comme algèbres inclinées 2-Calabi-Yau.