Επί των πεπερασμένα γενόμενων προβολικών modules επί του δακτυλίου k[x_1,...,x_m]

• Main Author: Αρβανίτη, Παναγιώτα
• Other Authors: Λεντούδης, Παύλος
• Language: gr
• Published: 2014
• Subjects: Προβολικά modules; Σταθερά ελεύθερα modules; Ελεύθερα modules; 512.42; Projective modules; Stably free modules; Free modules
• Online Access: http://hdl.handle.net/10889/8137

Η διπλωματική εργασία κινείται γύρω από το θεώρημα Quillen-Suslin (1976): “Κάθε πεπερασμένα γενόμενο προβολικό module επί του δακτυλίου των πολυωνύμων k[x_1,…,x_m ] (όπου k σώμα) είναι ελεύθερο”. Το πρόβλημα ξεκίνησε το 1955, όταν ο J. P. Serre, σε υποσημείωση της ένδοξης εργασίας του “Faisceaux Algebriques Coherents” (σελίδα 243), σημειώνει: “ On ignore s’il existe des A-modules projectifs de type fini qui ne soient pas libres” (A=k[x_1,…x_m ], k σώμα).* Το πρόβλημα λύθηκε από τους Quillen και Suslin (ανεξάρτητα) είκοσι χρόνια μετά. Για την απόδειξη του θεωρήματος είναι απαραίτητο το αποτέλεσμα που οφείλεται στον ίδιο τον Serre (1958): “ Κάθε πεπερασμένα γενόμενο προβολικό k[x_1,…,x_m ]-module P είναι σταθερά ελεύθερο” (δηλαδή το P δέχεται πεπερασμένα γενόμενο ελεύθερο συμπλήρωμα F, ώστε το P⊕F να είναι ελεύθερο). Στo Κεφάλαιο 2 αυτής της εργασίας, θα παρουσιάσουμε την απόδειξη του ανωτέρω θεωρήματος του Serre και τελικά, στο Κεφάλαιο 3, θα σκιαγραφήσουμε την απόδειξη του θεωρήματος Quillen-Suslin, με τη μέθοδο του Suslin. *Αγνοούμε αν υπάρχουν πεπερασμένα γενόμενα προβολικά A-modules που δεν είναι ελεύθερα. === This work is about the Quillen-Suslin Theorem (1976): “If k is a field , then every finitely generated projective k[x_1,…,x_m ]-module is free”. This problem started in 1955, when J.P. Serre, in his glorious paper “FaisceauxAlgebriquesCoherents” (page 243), noted: “On ignore s’ilexiste des A-modules projectifs de type fini qui ne soient pas libres ” (A=k[x_1,…x_m ],k is field).* This problem was solved from Quillen and Suslin (independently) twenty years after. For the proof of this theorem is necessary the result, due to Serre (1958): “Every finitely generated projective k[x_1,…,x_m ]-module P is stably free ” (ie. P admits a finitely generated free complement F, so that P⊕F is free). In Chapter 2 of this work, we will represent the proof of the above Serre’s Theorem and, finally, in Chapter 3, we will sketch the proof of Quillen-Suslin's Theorem, with Suslin’s method. *We ignore, if exist finitely generated projective A-modules, that they are not free.