Ανάπτυξη και χρήση υπολογιστικών μεθόδων για την σχετικιστική μελέτη των αστέρων νετρονίων

• Main Author: Σφαέλος, Ιωάννης
• Other Authors: Γερογιάννης, Βασίλειος
• Language: gr
• Published: 2011
• Subjects: Αστέρας νετρονίων; Μέθοδος διαταραχής Hartle; Ομοιόμορφη περιστροφή; Στρατηγική μιγαδικού επιπέδου; Αλγόριθμος λεπτής ρύθμισης; Διορθώσεις τρίτης τάξης; Όριο μάζας διαφυγής; Αριθμητικά αποτελέσματα; 523.887 4; Neutron star; Hartle's rerturbation method; Rigid rotation; Complex Plane Strategy; Algorithm of fine tuning; Third order corrections; Mass shedding limit; Numerical results
• Online Access: http://nemertes.lis.upatras.gr/jspui/handle/10889/4255

Βασικός άξονας της παρούσας διατριβής είναι οι σχετικιστικοί υπολογισμοί πολυτροπικών μοντέλων περιστρεϕόμενων αστέρων νετρονίων. Επειδή δεν υπάρχει ακριβής αναλυτική λύση των εξισώσεων του Einstein για το ϐαρυτικό πεδίο ενός περιστρεϕόμενου αστέρα νετρονίων, επιχειρούμε την αϱιθμητική επίλυση στο μιγαδικό επίπεδο όλων των διαϕορικών εξισώσεων, που εμπεριέχονται στην διαταρακτική μέθοδο του Hartle. Δίνουμε έμϕαση στον υπολογισμό φυσικών ποσοτήτων, που περιγράϕουν την γεωμετρία ταχέως περιστρεϕόμενων μοντέλων. Συγκρίνοντας τα αριθμητικά αποτελέσματα που ϐρίσκουμε με ορισμένες πολύπλοκες επαναληπτικές μεθόδους, ελέγχουμε την αξιόλογη ϐελτίωση των αποτελεσμάτων μας, έναντι εκείνων που δίνονται από το κλασσικό διαταρακτικό σχήμα του Hartle. Η παρούσα διατριβή χωρίζεται σε τέσσερα μέρη, που αναπτύσσονται στα κεϕάλαια 1, 2, 3 και 4. Στο πρώτο κεϕάλαιο, ϑα εστιάσουμε την προσοχή μας στο σύστημα διαφορικών εξισώσεων Oppenheimer − Volkov, που εξάγονται από τις εξισώσεις πεδίου του Einstein. Σε συνδυασμό με μια καταστατική εξίσωση περιγράφουμε σχετικιστικά πολυτροπικά μοντέλα μη περιστρεϕόμενων αστέρων νετρονίων σε υδροστατική ισορροπία. Ακολούθως, περιγράϕουμε ένα καθαϱά σχετικιστικό φαινόμενο, τον συρμό των αδρανειακών συστημάτων λόγω της περιστροϕής του αστέρα. Στην συνέχεια, χρησιμοποιούμε την μέθοδο διαταραχής του Hartle, σύμϕωνα με την οποία δεχόμαστε ότι ο στατικός αστέρας είναι το αδιατάρακτο σύστημα, πάνω στο οποίο εϕαρμόζουμε μικρές διαταραχές (ϑεωρώντας την ομοιόμορϕη περιστροϕή ως διαταραχή) και έτσι υπολογίζουμε τις διορθώσεις στην μάζα και την ακτίνα, λόγω των σϕαιρικών και τετραπολικών παραμορϕώσεων. Τέλος, εϕαρμόζουμε μία διαταρακτική προσέγγιση με όρους τρίτης τάξης στην γωνιακή ταχύτητα. Στο δεύτερο κεϕάλαιο, ϑα κάνουμε μια εκτενή περιγραϕή της στρατηγικής του μιγαδικού επιπέδου (Complex-Plane Strategy, εν συντομία CPS). Σύμϕωνα με αυτή την μέθοδο, η αριθμητική ολοκλήρωση των διαϕορικών εξισώσεων γίνεται στο μιγαδικό επίπεδο και όλες οι εμπλεκόμενες συναρτήσεις του προβλήματός μας είναι μιγαδικές, μιγαδικής μεταβλητής. Συνεπώς, για την αποϕυγή διαϕόρων ιδιομορϕιών ή και απροσδιόριστων μορϕών, που προκύπτουν από τις οριακές συνθήκες του προβλήματος, κυρίως στο κέντρο και στην επιϕάνεια του αστέρα, μας δίνεται η δυνατότητα να επιλέξουμε ένα κατάλληλο μιγαδικό μονοπάτι για την εκτέλεση πάνω σ΄ αυτό της αριθμητικής ολοκλήρωσης των διαϕορικών εξισώσεων. Επιπλέον, οι αριθμητικές ολοκληϱώσεις όλων των διαϕορικών εξισώσεων του προβλήματος συνεχίζονται πολύ πέραν της επιϕάνειας του αδιατάρακτου μοντέλου, με αποτέλεσμα η ακτίνα υπολογίζεται εύκολα ως η ϱίζα του πραγματικού μέρους της συνάρτησης της πυκνότητας (χωρίς να είμαστε αναγκασμένοι να εκτελέσουμε οποιεσδήποτε αριθμητικές προεκβολές, που είναι γνωστό ότι επιϕέρουν σημαντικά σϕάλματα). Στο τρίτο κεϕάλαιο, υπολογίζουμε σημαντικές φυσικές ποσότητες που αφορούν τον αστέρα νετρονίων, ολοκληρώνοντας αριθμητικά ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Ιδιαίτερα, υπολογίζουμε το σύνορο της περιστρεϕόμενης αστρικής δομής με δύο τρόπους. Ο πρώτος είναι με ϐάση την κλασική διαπραγμάτευση της διαταρακτικής μεθόδου του Hartle και ο δεύτερος με τον αλγόριθμο λεπτής ϱύθμισης που αναπτύσσουμε με την ϐοήθεια του οποίου παίρνουμε αξιόλογα αριθμητικά αποτελέσματα. Στην συνέχεια περιγράϕουμε το λογισμικό πακέτο ATOMFT System. Ακολούθως, με την ϐοήθεια των λύσεων των διαϕορικών εξισώσεων τρίτης τάξης ως προς την γωνιακή ταχύτητα, υπολογίζουμε τις διορθώσεις στην στροϕορμή, την ϱοπή αδράνειας, την περιστροϕική κινητική ενέργεια και την ϐαρυτική δυναμική ενέργεια του αστέρα. Εϕαρμόζοντας τέλος μια κατάλληλη μέθοδο, υπολογίζουμε το όριο της μάζας διαϕυγής. Στο τέταρτο κεϕάλαιο, εκθέτουμε πίνακες αποτελεσμάτων και κάποιες σημαντικές γραϕικές παραστάσεις. Δίνουμε επίσης ορισμένες λεπτομέρειες της εϕαρμογής του προγράμματός μας. Επιπλέον, δίνουμε έμϕαση στο γνωστό «παράδοξο» που αϕορά την μέθοδο διαταραχών του Hartle,σύμϕωνα με την οποία αυτή η μέθοδος αν και αντιπροσωπεύει μια προσέγγιση αργής πεϱιστροϕής ενός αστέρα νετρονίων, δίνει αξιόλογα αποτελέσματα ακόμη και όταν εϕαρμόζεται σε ταχέως περιστρεϕόμενα μοντέλα. Στην παρούσα έρευνα αϕαιρέσαμε τον κρίσιμο περιορισμό του τερματισμού των αριθμητικών ολοκληρώσεων λίγο πριν από την επιϕάνεια του μη περιστρεϕόμενου αστέρα, συνεχίζοντας την ολοκλήρωση αρκετά πέραν του συνόρου του. Αυτό σημαίνει ότι η CPS ¨γνωρίζει¨ την παραμόρϕωση που προκαλείται από την περιστροϕή για ένα αρκετά εκτεταμένο διάστημα που περιβάλλει την αρχικά σϕαιρική μορϕή του αστέρα. Συνεπώς, για τους υπολογισμούς που απαιτούνται για τον περιστρεϕόμενο αστέρα, η CPS δεν προεκβάλλει ποτέ, με αποτέλεσμα τα σϕάλματα των υπολογισμών είναι πολύ μικρά. Τέλος, λαμβάνοντας υπόψη κατάλληλα στους υπολογισμούς μας ένα ορισμένο αριθμό συνθηκών, συνδυάζοντας την κλασική διαπραγμάτευση του διαταρακτικού σχήματος του Hartle και τις σχέσεις που απορρέουν από την δομή της στρατηγικής του μιγαδικού επιπέδου, οδηγηθήκαμε τελικά στην επινόηση του αλγόριθμου λεπτής ϱύθμισης, αποτέλεσμα του οποίου είναι η σημαντική ϐελτίωση της ακρίβειας των αριθμητικών αποτελεσμάτων που αϕορούν την γεωμετρία του συνόρου του αστέρα νετρονίων. ΄Αμεση συνέπεια όλων αυτών είναι ο υπολογισμός με ικανοποιητική ακρίβεια του ορίου της μάζας διαϕυγής, εϕαρμόζοντας μια κατάλληλη μέθοδο. === In the present dissertation we solve numerically in the complex plane all the differential equations involved in Hartle’s perturbation method for computing general-relativistic polytropic models of rotating neutron stars. We give emphasis on computing quantities describing the geometry of models in rapid rotation. Compared to numerical results obtained by certain sophisticated iterative methods, we verify appreciable improvement of our results vs to those given by the classical Hartle’s perturbative scheme. The description of the present investigation is constituted by four parts and has as follows. In the first chapter, we start to describe the nonrotating neutron star model. Then, according to "Hartle’s perturbation method", the solid rotation is added as a perturbation. So, the equations of structure for uniformly rotating stars are given up to second order in the angular velocity and the distortions to mass and radius are calculated as corrections owing to spherical and quadrupole deformations. Subsequently, the equations are given up to third order in the angular velocity. In the second chapter, we describe extensively the numerical method called Complex-Plane Strategy (abbreviated CPS). According to this method, we solve numerically in the complex plane all the differential equations involved in Hartle’s perturbation method. Any function of our problem is interpreted as a complex-valued function of a complex variable. CPS offers an alternative for avoiding any singularities and/or indeterminate forms, especially near the center and the surface of the nonrotating star, by performing numerical integration along a proper complex path. Moreover, the numerical integrations of all the differential equations governing the problem are continued well beyond the surface of the nonrotating star, thus, the radius is readily calculated as root of the density function (without been forced to perform any numerical extrapolations). In the third chapter, we solve numerically in the complex plane the system of first-order differential equations resulting from Hartle’s perturbation method. We give emphasis on computing the boundary of the rotating configuration by the so-called fine tuning algorithm which gives appreciably improved results. Then, we describe the software systems that we use in our investigation, with emphasis on the ATOMFT System. Finally, we compute the third order corrections in the uniform angular velocity for the angular momentum, moment of inertia, rotational kinetical energy and gravitational potential energy. Furthermore, we describe a method for computing the mass-shedding limit. In the fourth chapter, we present several numerical results and some significant graphical representations. We also give certain details of our program implementation. Concluding, we emphasize on the well-known "paradox" concerning Hartle’s perturbation method, according to which this method, although representing a slow-rotation approximation, gives remarkably accurate results even when applied to rapidly rotating models. In the present work, we have removed the certain critical limitations of terminating integrations below the radius of the star. Instead, the numerical integration of our problem continues well beyond the boundary of the star. This means that CPS knows the distortion to be caused by rotation over a sufficiently extended space surrounding the initially spherical configuration. So, to the computation of a particular rotating configuration, CPS never extrapolates beyond the end of the function tables computed by such extended numerical integrations. It is exactly the avoidance of any extrapolation which keeps the error in the computations appreciably small. Finally, we have properly taken into account certain conditions matching Hartle’s perturbative scheme and the relations arising in the framework of the Complex-Plane Strategy. This treatment has led to the fine tuning algorithm which, in turn, has improved appreciably the accuracy of our numerical results related to the geometry of the star’s boundary. Consequently, the mass-shedding limit can be calculated using a proper procedure which gives remarkably accurate results.