Symmetric Squaring in Homology and Bordism

• Main Author: Krempasky, Seyide Denise
• Other Authors: Schick, Thomas Prof. Dr.
• Format: Doctoral Thesis
• Language: English
• Published: 2011
• Subjects: 510 Mathematik; Mathematics and Computer Science; Algebraische Topologie; Homologietheorie; Bordismus; Čech homology; algebraic topology; homology theory; bordism; 31.60; 31.69; EFF 000: General reference works {Algebraic topology}; EFFN 000: Homology and cohomology theories {Algebraic topology}; EFHQ 200; EFFN 200: Generalized -extraordinary- homology and cohomology theories {Algebraic topology: Homology and cohomology theories}
• Online Access: http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-0006-B3F0-3; http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:gbv:7-webdoc-3230-6

Betrachtet man das kartesische Produkt X × X eines topologischen Raumes X mit sich selbst, so kann auf diesem Objekt insbesondere die Involution betrachtet werden, die die Koordinaten vertauscht, die also (x,y) auf (y,x) abbildet. Das sogenannte 'Symmetrische Quadrieren' in Čech-Homologie mit Z/2-coefficients wurde von Schick et al. 2007 als Abbildung von der k-ten Čech-Homologiegruppe eines Raumes X in die 2k-te Čech-Homologiegruppe von X × X modulu der oben genannten Involution definiert. Es stellt sich heraus, dass diese Konstruktion entscheidend ist für den Beweis eines parametrisierten Borsuk-Ulam-Theorems.Das Symmetrische Quadrieren kann zu einer Abbildung in Bordismus verallgemeinert werden, was der Hauptgegenstand dieser Dissertation ist. Genauer gesagt werden wir zeigen, dass es eine wohldefinierte, natürliche Abbildung von der k-ten singulären Bordismusgruppe von X in die 2k-te Bordismusgruppe von X × X modulu der obigen Involution gibt.Insbesondere ist dieses Quadrieren wirklich eine Verallgemeinerung der Konstruktion in Čech-Homologie, denn es ist vertauschbar mit dem Übergang von Bordismus zu Homologie via dem Fundamentalklassenhomomorphismus. Auf dem Weg zu diesem Resultat wird das Konzept des Čech-Bordismus als Kombination aus Bordismus und Čech-Homologie zunächst definiert und dann mit Čech-Homologie verglichen.