| Summary: | Ce mémoire est une poursuite de l’étude de la superintégrabilité classique et quantique
dans un espace euclidien de dimension deux avec une intégrale du mouvement
d’ordre trois. Il est constitué d’un article. Puisque les classifications de tous les Hamiltoniens
séparables en coordonnées cartésiennes et polaires sont déjà complétées, nous
apportons à ce tableau l’étude de ces systèmes séparables en coordonnées paraboliques.
Premièrement, nous dérivons les équations déterminantes d’un système en coordonnées
paraboliques et ensuite nous résolvons les équations obtenues afin de trouver les
intégrales d’ordre trois pour un potentiel qui permet la séparation en coordonnées paraboliques.
Finalement, nous démontrons que toutes les intégrales d’ordre trois pour les potentiels
séparables en coordonnées paraboliques dans l’espace euclidien de dimension deux
sont réductibles. Dans la conclusion de l’article nous analysons les différences entre les
potentiels séparables en coordonnées cartésiennes et polaires d’un côté et en coordonnées
paraboliques d’une autre côté.
Mots clés: intégrabilité, superintégrabilité, mécanique classique, mécanique quantique,
Hamiltonien, séparation de variable, commutation. === This thesis is a contribution to the study of classical and quantum superintegrability
in a two-dimensional Euclidean space involving a third order integral of motion. It consists
of an article. Because the classifications of all separable hamiltonians into Cartesian
and polar coordinates are already complete, we bring to this picture the study of those
systems in parabolic coordinates. First, we derive the determinating equations of a system
into parabolic coordinates, after which we solve the obtained equations in order
to find integrals of order three for potentials, which allow the separations of variables
into the parabolic coordinates. Finally, we prove that all the third order integrals for
separable potentials in parabolic coordinates in the Euclidean space of dimension two
are reducible. In the conclusion of this article, we analyze the differences between the
separable potentials in Cartesian and polar coordinates and the separable potentials in
parabolic coordinates.
Keywords: integrability, superintegrability, classical mechanics, quantum mechanics,
Hamiltonian, separation of variables, commutation.
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