| Summary: | La représentation d'une surface, son lissage et son utilisation pour l'identification,
la comparaison, la classification, et l'étude des variations de volume, de courbure
ou de topologie sont omniprésentes dans l'aire de la numérisation. Parmi les
méthodes mathématiques, nous avons retenu les transformations difféomorphiques
d'un pattern de référence.
Il y a un grand intérêt théorique et numérique à approcher un difféomorphisme
arbitraire par des difféomorphismes engendrés par des champs de vitesses. Sur le plan
théorique la question est : "est-ce que le sous-groupe de difféomorphismes engendrés
par des champs de vitesses est dense dans le groupe plus large de Micheletti pour la
métrique de Courant ?" Malgré quelques progrès réalisés ici, cette question demeure
ouverte.
Les pistes empruntées ont alors convergé vers le sous-groupe de Azencott et de
Trouvé et sa métrique dans le cadre de l'imagerie. Elle correspond à une notion de
géodésique entre deux difféomorphismes dans leur sous-groupe. L'optimisation est
utilisée pour obtenir un système d'équations état adjoint caractérisant la solution
optimale du problème d'identification à partir des observations.
Cette approche est adaptée à l'identification de surfaces obtenues par un numériseur tel que, par exemple, le scan d'un visage. Ce problème est beaucoup plus
difficile que celui d'imagerie. On doit alors introduire un système de référence courbe
et une surface à facettes pour les calculs. On donne la formulation du problème
d'identification et du calcul du changement de volume par rapport à un scan de
référence. === The representation of a surface, its smoothing, and its use in identification,
comparison, classification, and in the study of changes in volume, curvature, and
topology are ubiquitous in the area of the scanning. Among mathematical methods,
we have retained the diffeomorphisms of a reference pattern.
There is a considerable interest, both theoretical and numerical, in approximating
an arbitrary diffeomorphism by diffeomorphisms generated by velocity fields.
On the theoretical front the question is : "is the subgroup of diffeomorphisms generated
by velocity fields dense in Micheletti's larger group endowed with the Courant
metric ?" In spite of some progress, the question remains open.
The tracks followed have converged towards the subgroup of Lipschitzian diffeomorphisms
of Azencott and Trouvé and its metric developed for imaging. It
corresponds to a notion of geodesic between two diffeomorphisms in their subgroup.
Optimization is then used to obtain a system of equations of the state adjoint state
type characterizing the optimal solution of the identification problem from observations.
This approach is adapted to the identification of surfaces obtained from a
scanner such as, for instance, the scan of a face. This problem is much more difficult
than the one of imaging. We introduce a curvilinear reference system and a faceted
surface for numerical computations. We provide a formulation of the identification
problem and of the computation of the change of volume from a reference scan.
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