| Summary: | Le sujet principal de cette thèse est l’étude des valeurs moyennes et corrélations de fonctions
multiplicatives. Les résultats portant sur ces derniers sont subséquemment appliqués à la
résolution de plusieurs problèmes.
Dans le premier chapitre, on rappelle certains résultats classiques concernant les valeurs
moyennes des fonctions multiplicatives. On y énonce également les théorèmes principaux de
la thèse.
Le deuxième chapitre consiste de l’article “Mean values of multiplicative functions over
the function fields". En se basant sur des résultats classiques de Wirsing, de Hall et de Tenenbaum
concernant les fonctions multiplicatives arithmétiques, on énonce et on démontre des
théorèmes qui y correspondent pour les fonctions multiplicatives sur les corps des fonctions
Fq[x]. Ainsi, on résoud un problème posé dans un travail récent de Granville, Harper et
Soundararajan. On décrit dans notre thése certaines caractéristiques du comportement des
fonctions multiplicatives sur les corps de fonctions qui ne sont pas présentes dans le contexte
des corps de nombres. Entre autres, on introduit pour la première fois une notion de
“simulation” pour les fonctions multiplicatives sur les corps de fonctions Fq[x].
Les chapitres 3 et 4 comprennent plusieurs résultats de l’article “Correlations of multiplicative
functions and applications". Dans cet article, on détermine une formule asymptotique
pour les corrélations
X
n6x
f1(P1(n)) · · · fm(Pm(n)),
où f1, . . . ,fm sont des fonctions multiplicatives de module au plus ou égal à 1 ”simulatrices”
qui satisfont certaines hypothèses naturelles, et P1, . . . ,Pm sont des polynomes ayant des coefficients
positifs. On déduit de cette formule plusieurs conséquences intéressantes. D’abord,
on donne une classification des fonctions multiplicatives f : N ! {−1,+1} ayant des sommes
partielles uniformément bornées. Ainsi, on résoud un problème d’Erdos datant de 1957 (dans
la forme conjecturée par Tao). Ensuite, on démontre que si la valeur moyenne des écarts
|f(n + 1) − f(n)| est zéro, alors soit |f| a une valeur moyenne de zéro, soit f(n) = ns avec
iii
Re(s) < 1. Ce résultat affirme une ancienne conjecture de Kátai. Enfin, notre théorème principal
est utilisé pour compter le nombre de représentations d’un entier n en tant que somme
a+b, où a et b proviennent de sous-ensembles multiplicatifs fixés de N. Notre démonstration
de ce résultat, dû à l’origine à Brüdern, évite l’usage de la “méthode du cercle".
Les chapitres 5 et 6 sont basés sur les résultats obtenus dans l’article “Effective asymptotic
formulae for multilinear averages and sign patterns of multiplicative functions," un
travail conjoint avec Alexander Mangerel. D’après une méthode analytique dans l’esprit du
théorème des valeurs moyennes de Halász, on détermine une formule asymptotique pour les
moyennes multidimensionelles
x−l
X
n2[x]l
Y
16j6k
fj(Lj(n)),
lorsque x ! 1, où [x] := [1,x] et L1, . . . ,Lk sont des applications linéaires affines qui satisfont
certaines hypothèses naturelles. Notre méthode rend ainsi une démonstration neuve
d’un résultat de Frantzikinakis et Host avec, également, un terme principal explicite et un
terme d’erreur quantitatif. On applique nos formules à la démonstration d’un phénomène
local-global pour les normes de Gowers des fonctions multiplicatives. De plus, on découvre
et explique certaines irrégularités dans la distribution des suites de signes de fonctions
multiplicatives f : N ! {−1,+1}. Visant de tels résultats, on détermine les densités asymptotiques
des ensembles d’entiers n tels que la fonction f rend une suite fixée de 3 ou 4 signes
dans presque toutes les progressions arithmétiques de 3 ou 4 termes, respectivement, ayant
n comme premier terme. Ceci mène à une généralisation et amélioration du travail de Buttkewitz
et Elsholtz, et donne un complément à un travail récent de Matomäki, Radziwiłł et
Tao sur les suites de signes de la fonction de Liouville. === The main theme of this thesis is to study mean values and correlations of multiplicative
functions and apply the corresponding results to tackle some open problems.
The first chapter contains discussion of several classical facts about mean values of multiplicative
functions and statement of the main results of the thesis.
The second chapter consists of the article “Mean values of multiplicative functions over
the function fields". The main purpose of this chapter is to formulate and prove analog of
several classical results due to Wirsing, Hall and Tenenbaum over the function field Fq[x],
thus answering questions raised in the recent work of Granville, Harper and Soundararajan.
We explain some features of the behaviour of multiplicative functions that are not present
in the number field settings. This is accomplished by, among other things, introducing the
notion of “pretentiousness" over the function fields.
Chapter 3 and Chapter 4 include results of the article “Correlations of multiplicative
functions and applications". Here, we give an asymptotic formula for correlations
X
n_x
f1(P1(n))f2(P2(n)) · · · · · fm(Pm(n))
where f . . . ,fm are bounded “pretentious" multiplicative functions, under certain natural
hypotheses. We then deduce several desirable consequences. First, we characterize all multiplicative
functions f : N ! {−1,+1} with bounded partial sums. This answers a question
of Erdos from 1957 in the form conjectured by Tao. Second, we show that if the average
of the first divided difference of multiplicative function is zero, then either f(n) = ns for
Re(s) < 1 or |f(n)| is small on average. This settles an old conjecture of Kátai. Third, we
apply our theorem to count the number of representations of n = a + b where a,b belong to
some multiplicative subsets of N. This gives a new "circle method-free" proof of the result of
Brüdern.
Chapters 5 and Chapter 6 are based on the results obtained in the article “Effective
asymptotic formulae for multilinear averages and sign patterns of multiplicative functions,"
joint with Alexander Mangerel. Using an analytic approach in the spirit of Halász’ mean
v
value theorem, we compute multidimensional averages
x−l
X
n2[x]l
Y
16j6k
fj(Lj(n))
as x ! 1, where [x] := [1,x] and L1, . . . ,Lk are affine linear forms that satisfy some natural
conditions. Our approach gives a new proof of a result of Frantzikinakis and Host that is
distinct from theirs, with explicit main and error terms.
As an application of our formulae, we establish a local-to-global principle for Gowers norms
of multiplicative functions. We reveal and explain irregularities in the distribution of the
sign patterns of multiplicative functions by computing the asymptotic densities of the sets
of integers n such that a given multiplicative function f : N ! {−1, 1} yields a fixed sign
pattern of length 3 or 4 on almost all 3- and 4-term arithmetic progressions, respectively,
with first term n. The latter generalizes and refines the work of Buttkewitz and Elsholtz and
complements the recent work of Matomaki, Radziwiłł and Tao.
We conclude this thesis by discussing some work in progress.
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