An algorithmic look at phase-controlled branching processes
Branching processes are stochastic processes describing the evolution of populations of individuals which reproduce and die independently of each other according to specific probability laws. We consider a particular class of branching processes, called Markovian binary trees, where the lifetime and...
| Main Author: | |
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| Other Authors: | |
| Format: | Doctoral Thesis |
| Language: | fr |
| Published: |
Universite Libre de Bruxelles
2009
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| Subjects: | |
| Online Access: | https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/210255/1/1a243f3a-f664-4df4-a086-81cbf80c2bc1.txt https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/210255/4/f5bed201-c227-4091-af70-2aa7af529556.txt http://hdl.handle.net/2013/ULB-DIPOT:oai:dipot.ulb.ac.be:2013/210255 |
| Summary: | Branching processes are stochastic processes describing the evolution of populations of individuals which reproduce and die independently of each other according to specific probability laws. We consider a particular class of branching processes, called Markovian binary trees, where the lifetime and birth epochs of individuals are controlled by a Markovian arrival process. <p><p>Our objective is to develop numerical methods to answer several questions about Markovian binary trees. The issue of the extinction probability is the main question addressed in the thesis. We first assume independence between individuals. In this case, the extinction probability is the minimal nonnegative solution of a matrix fixed point equation which can generally not be solved analytically. In order to solve this equation, we develop a linear algorithm based on functional iterations, and a quadratic algorithm, based on Newton's method, and we give their probabilistic interpretation in terms of the tree. <p><p>Next, we look at some transient features for a Markovian binary tree: the distribution of the population size at any given time, of the time until extinction and of the total progeny. These distributions are obtained using the Kolmogorov and the renewal approaches. <p><p>We illustrate the results mentioned above through an example where the Markovian binary tree serves as a model for female families in different countries, for which we use real data provided by the World Health Organization website. <p><p>Finally, we analyze the case where Markovian binary trees evolve under the external influence of a random environment or a catastrophe process. In this case, individuals do not behave independently of each other anymore, and the extinction probability may no longer be expressed as the solution of a fixed point equation, which makes the analysis more complicated. We approach the extinction probability, through the study of the population size distribution, by purely numerical methods of resolution of partial differential equations, and also by probabilistic methods imposing constraints on the external process or on the maximal population size.<p><p>/<p><p>Les processus de branchements sont des processus stochastiques décrivant l'évolution de populations d'individus qui se reproduisent et meurent indépendamment les uns des autres, suivant des lois de probabilités spécifiques. <p><p>Nous considérons une classe particulière de processus de branchement, appelés arbres binaires Markoviens, dans lesquels la vie d'un individu et ses instants de reproduction sont contrôlés par un MAP. Notre objectif est de développer des méthodes numériques pour répondre à plusieurs questions à propos des arbres binaires Markoviens.<p><p>La question de la probabilité d'extinction d'un arbre binaire Markovien est la principale abordée dans la thèse. Nous faisons tout d'abord l'hypothèse d'indépendance entre individus. Dans ce cas, la probabilité d'extinction s'exprime comme la solution minimale non négative d'une équation de point fixe matricielle, qui ne peut être résolue analytiquement. Afin de résoudre cette équation, nous développons un algorithme linéaire, basé sur l'itération fonctionnelle, ainsi que des algorithmes quadratiques, basés sur la méthode de Newton, et nous donnons leur interprétation probabiliste en termes de l'arbre que l'on étudie.<p><p>Nous nous intéressons ensuite à certaines caractéristiques transitoires d'un arbre binaire Markovien: la distribution de la taille de la population à un instant donné, celle du temps jusqu'à l'extinction du processus et celle de la descendance totale. Ces distributions sont obtenues en utilisant l'approche de Kolmogorov ainsi que l'approche de renouvellement.<p><p>Nous illustrons les résultats mentionnés plus haut au travers d'un exemple où l'arbre binaire Markovien sert de modèle pour des populations féminines dans différents pays, et pour lesquelles nous utilisons des données réelles fournies par la World Health Organization.<p><p>Enfin, nous analysons le cas où les arbres binaires Markoviens évoluent sous une influence extérieure aléatoire, comme un environnement Markovien aléatoire ou un processus de catastrophes. Dans ce cas, les individus ne se comportent plus indépendamment les uns des autres, et la probabilité d'extinction ne peut plus s'exprimer comme la solution d'une équation de point fixe, ce qui rend l'analyse plus compliquée. Nous approchons la probabilité d'extinction au travers de l'étude de la distribution de la taille de la population, à la fois par des méthodes purement numériques de résolution d'équations aux dérivées partielles, ainsi que par des méthodes probabilistes en imposant des contraintes sur le processus extérieur ou sur la taille maximale de la population. === Doctorat en Sciences === info:eu-repo/semantics/nonPublished |
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