Anwendung finiter Gruppen zur effizienten Berechnung elektromagnetischer Felder in symmetrischen Strukturen auf Basis der Randelementmethode
In der Praxis sind häufig elektromagnetische Feldprobleme anzutreffen, die durch eine gewisse geometrische Symmetrie gekennzeichnet sind. Bei ihrer numerischen Behandlung ist es im Hinblick auf den damit erzielbaren Rechenvorteil wünschenswert, Redundanzen in der geometrischen Modellbeschreibung und...
| Summary: | In der Praxis sind häufig elektromagnetische Feldprobleme anzutreffen, die durch eine gewisse geometrische Symmetrie gekennzeichnet sind. Bei ihrer numerischen Behandlung ist es im Hinblick auf den damit erzielbaren Rechenvorteil wünschenswert, Redundanzen in der geometrischen Modellbeschreibung und, damit verbunden, in der Rechengebietsgröße zu vermeiden. Auf Basis gruppentheoretischer Methoden ist es bei Vorliegen einer durch eine finite Gruppe charakterisierten Symmetrie möglich, aus einer bestimmten Klasse stammende Randwertaufgaben in mehrere, voneinander unabhängige Teilprobleme zu zerlegen, die auf einem Gebiet reduzierter Größe definiert sind. Dabei muss die Anregung selbst keine symmetrischen Eigenschaften aufweisen. Dieses als nichtkommutative harmonische Analyse bezeichnete Konzept wurde bisher im Rahmen der Randelementmethode nur auf Integralgleichungstypen mit Belegfunktionen, an die keine Stetigkeitsforderungen gestellt sind, angewandt. In der vorliegenden Arbeit wird anhand der Reduktion der elektrischen Feldintegralgleichung mit Fokus auf elektromagnetische Streuprobleme und Eigenwertaufgaben eine Verallgemeinerung dieser Methodik zur Erweiterung ihrer Anwendbarkeit auf Formulierungen mit stetigen Randbelegungen vorgeschlagen. Ausgehend von der direkten Herleitung gängiger Oberflächenintegralgleichungsformulierungen wird zu Beginn ein als Momentenmethode bekanntes Projektionsverfahren vorgestellt, das im weiteren Verlauf zur approximativen Lösung der elektrischen Feldintegralgleichung dienen soll. In diesem Kontext werden zwei weit verbreitete Techniken zur Regularisierung der in diesem Prozessschritt auftretenden singulären Integrale hinsichtlich Genauigkeit und Effizienz miteinander verglichen und ihr Einfluss auf die Konvergenzeigenschaften des eingesetzten Quadraturverfahrens untersucht. Im Hauptteil der Arbeit wird nach Einführung wichtiger Begriffe und Definitionen aus der Gruppen- und Darstellungstheorie die grundlegende Idee des abstrakten Formalismus der harmonischen Analyse auf finiten Gruppen dargelegt sowie die erforderlichen Voraussetzungen für deren Anwendbarkeit herausgearbeitet. Anschließend wird die Transformation der hier betrachteten Modellgleichung in einen Satz voneinander unabhängiger, strukturgleicher Integralgleichungen demonstriert, dessen Äquivalenz zum Ausgangsproblem jedoch erst durch Vorgabe zusätzlicher Zwangsbedingungen auf den durch die Einschränkung des Rechengebiets entstehenden Schnitträndern herstellbar ist. Zentralen Arbeitsschwerpunkt bildet eine systematische und mathematisch strenge Ableitung dieser von den Stetigkeitseigenschaften der Feldgrößen abhängigen Schnittkantenbedingungen sowie deren Einbindung in den darauf folgenden Diskretisierungsprozess, wozu speziell angepasste Ansatzfunktionen entwickelt werden. Besonderer Wert wird dabei auf eine möglichst allgemein gehaltene Darstellung sowie methodische Vorgehensweise gelegt, damit eine einfache Übertragbarkeit auf weitere Problemformulierungen ohne Schwierigkeiten möglich ist. Aufgrund der erreichten Zerlegung in mehrere, voneinander unabhängige Systeme reduzierter Größe wird im Vergleich zur Lösung des Gesamtproblems sowohl der Speicherplatzbedarf als auch der Rechenzeitaufwand um einen von der zugrunde liegenden Symmetriegruppe abhängigen Faktor, für den entsprechende Abschätzungen angegeben werden, herabgesetzt. Am Beispiel der numerischen Berechnung des Rückstreuquerschnitts der in der Hobbyschifffahrt zum Einsatz kommenden oktaedrischen Radarreflektoren sowie der Eigenwertanalyse eines in der Beschleunigertechnik verwendeten Hohlraumresonators wird die Leistungsfähigkeit und Einsetzbarkeit der vorgestellten Methode verdeutlicht. |
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