Maximale Flüsse in fast-planaren Graphen

• Main Author: Hochstein, Jan M.
• Format: Others
• Language: German; de
• Published: 2007
• Online Access: http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/822/1/np.pdf; Hochstein, Jan M. <http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/view/person/Hochstein=3AJan_M=2E=3A=3A.html> : Maximale Flüsse in fast-planaren Graphen. [Online-Edition] Technische Universität, Darmstadt [Ph.D. Thesis], (2007)

Das Maximalfluss-Problem ist eines der besterforschten Probleme in der kombinatorischen Optimierung. Gefragt ist hierbei nach dem maximalen statischen Durchsatz durch ein Netzwerk zwischen dem Startknoten s und dem Zielknoten t. Beispiele hierfür sind Netzwerke aus Rohren oder Kabeln oder Strassen- und Schienennetze. Es ist wohlbekannt, dass das Maximalfluss-Problem in planaren Graphen wesentlich schneller gelöst werden kann als in allgemeinen Graphen. Allerdings gibt es bisher keine Ergebnisse für fast-planare Graphen. Mit fast-planar bezeichnen wir Graphen, die wenige nicht-planare Stellen haben, wie zum Beispiel ein Straßennetz mit wenigen Brücken und Tunneln. Dabei ist es a priori nicht klar, wieviel "wenig" ist. Unser Ziel ist es daher, Algorithmen zu finden, die das Maximalfluss-Problem in fast-planaren Graphen asymptotisch schneller lösen als die besten bekannten Algorithmen. Dazu betrachten wir die bekannten Algorithmen für planare Graphen und erweitern sie so, dass sie fast-planare Instanzen optimal lösen. Desweiteren untersuchen wir alle bekannten Lösungsansätze für allgemeine Graphen daraufhin, ob eine Veränderung der Algorithmen oder ihrer Laufzeitbeweise zu Verbesserungen der Laufzeitabschätzung führen. Im Rahmen dieser Untersuchungen finden wir den ersten Algorithmus für ein Fluss-Problem speziell für fast-planare Graphen. Er ist asymptotisch schneller als alle bekannten Algorithmen auf diesen Graphen. Die Anzahl der nicht-planaren Stellen im Graphen geht dabei als Parameter in die Laufzeit ein, sodass sich für Graphen, die näher an der Planarität liegen, eine bessere Laufzeitabschätzung ergibt. Desweiteren finden wir eine einfache Erweiterung eines bekannten Algorithmus, die auf unseren Testinstanzen ein sehr gutes Laufzeitverhalten aufweist. Nebenbei beweisen wir einige neue Beobachtungen für die theoretische Betrachtung des Maximalfluss-Problems. Andererseits können wir auch viele scheinbar erfolgversprechende Überlegungen endgültig widerlegen.