Zur Berechnung von Informationsflüssen in nichtlinearen dynamischen Systemen
Die Identifizierung von Abhängigkeiten der zeitlichen Entwicklung einer Observablen von ihrer eigenen Vergangenheit oder von anderen Meßgrößen ist eine wichtige Grundlage für die Beschreibung komplexer dynamischer Systeme. In nichtlinearen dynamischen Systemen liefern lineare Standardverfahren der Z...
| Summary: | Die Identifizierung von Abhängigkeiten der zeitlichen Entwicklung einer Observablen von ihrer eigenen Vergangenheit oder von anderen Meßgrößen ist eine wichtige Grundlage für die Beschreibung komplexer dynamischer Systeme. In nichtlinearen dynamischen Systemen liefern lineare Standardverfahren der Zeitreihenanalyse, wie z.B. Korrelationen, häufig keine befriedigenden Ergebnisse. Um auch Nichtlinearitäten berücksichtigen zu können, wird in dieser Arbeit eine neue Methode zur Berechnung von Informationsflüssen vorgestellt. Diese basiert auf der Berechnung einer modifizierten bedingten Entropie und stellt einen sehr allgemeinen Zugang zur nichtlinearen Abhängigkeitsanalyse dar. Es wird dabei untersucht, welche Beiträge verschiedene Meßgrößen zur Beschreibung einer anderen liefern. Kann diese eindeutig beschrieben werden, ist die Information über alle Zustände dieser Größe also vollständig, so verschwindet die modifizierte bedingte Entropie. Unvollständige Information kann einerseits aufgrund von Nichtlinearitäten, andererseits aufgrund fehlender Messungen oder stochastischer Störungen vorliegen. Beide Arten von Informationsverlusten können unabhängig voneinander berechnet werden, wodurch es ermöglicht wird, eine Meßgröße auf ihre eindeutige Modellierbarkeit zu überprüfen. Weiterhin können die für ein Modell optimal geeigneten Größen bestimmt werden. Dies ermöglicht insbesondere die Bestimmung optimaler Parameter für die Rekonstruktion chaotischer Attraktoren mittels Zeitverzögerungskoordinaten. Dabei führt die Verwendung variabler Verzögerungszeiten zu einer Minimierung der benötigten Einbettungsdimension. Außerdem ist die Berechnung der modifizierten bedingten Entropie sehr gut zur Bestimmung relevanter Zeitskalen aus Zeitreihen eines nichtlinearen dynamischen Systems geeignet. Die Einsatzbarkeit des vorgestellten Verfahrens wird an Meßreihen technischer Systeme (Abhängigkeitsanalyse von Schwingungsüberhöhungen bei Turbogeneratoren), experimentellen Daten (Halbleiterlaser mit zwei externen Resonatoren) sowie an Zeitreihen nichtlinearer Standardsysteme demonstriert. Weiterhin wird eine Methode zur datengetriebenen Modellbildung bei nichtlinearen Systemen vorgestellt. Abschließend wird der Einfluß von Meßrauschen auf die numerische Berechnung der modifizierten bedingten Entropie untersucht und das Verfahren mit anderen Methoden der Abhängigkeitsanalyse verglichen. |
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