Contributions à l'amélioration de la performance des conditions aux limites approchées pour des problèmes de couche mince en domaines non réguliers

• Main Author: Auvray, Alexis
• Other Authors: Lyon
• Language: fr
• Published: 2018
• Subjects: Équations aux dérivées partielles; Problèmes de transmission; Couche mince; Développements asymptotiques; Condition d'impédance; Condition de Robin; Condition de Ventcel; Singularités; Profils; Espaces à poids; Transformée de Mellin; Simulation numérique par éléments finis; Partial differential equations; Transmission problems; Thin layer; Asymptotic expansion; Impedance condition; Robin condition; Ventcel condition; Singularities; Profiles; Weighted spaces; Mellin transform; Finite element approximations
• Online Access: http://www.theses.fr/2018LYSEC018/document

Les problèmes de transmission avec couche mince sont délicats à approcher numériquement, en raison de la nécessité de construire des maillages à l’échelle de la couche mince. Il est courant d’éviter ces difficultés en usant de problèmes avec conditions aux limites approchées — dites d’impédance. Si l’approximation des problèmes de transmission par des problèmes d’impédance s’avère performante dans le cas de domaines réguliers, elle l’est beaucoup moins lorsque ceux-ci comportent des coins ou arêtes. L’objet de cette thèse est de proposer de nouvelles conditions d’impédance, plus performantes, afin de corriger cette perte de performance. Pour cela, les développements asymptotiques des différents problèmes-modèles sont construits et étudiés afin de localiser avec précision l’origine de la perte, en lien avec les profils singuliers associés aux coins et arêtes. De nouvelles conditions d’impédance sont construites, de type Robin multi-échelle ou Venctel. D’abord étudiées en dimension 2, elles sont ensuite généralisées à certaines situations en dimension 3. Des simulations viennent confirmer l’efficience des méthodes théoriques. === Transmission problems with thin layer are delicate to approximate numerically, because of the necessity to build meshes on the scale of the thin layer. It is common to avoid these difficulties by using problems with approximate boundary conditions — also called impedance conditions. Whereas the approximation of transmission problems by impedance problems turns out to be successful in the case of smooth domains, the situation is less satisfactory in the presence of corners and edges. The goal of this thesis is to propose new impedance conditions, more efficient, to correct this lack of performance. For that purpose, the asymptotic expansions of the various models -problems are built and studied to locate exactly the origin of the loss, in connection with the singular profiles associated to corners and edges. New impedance conditions are built, of multi-scale Robin or Venctel types. At first studied in dimension 2, they are then generalized in certain situations in dimension 3. Simulations have been carried out to confirm the efficiency of the theoretical methods to some.