Maximal regularity for non-autonomous evolution equations

• Main Author: Achache, Mahdi
• Other Authors: Bordeaux
• Language: en
• Published: 2018
• Subjects: Formes sesquilinéaire; Régularité de Besov; Régularité de Sobolev; Équation des ondes; Régularité maximale; Équation parabolique; Sesquilinear forms; Besov regularity; Sobolev regularity; Wave equation; Maximal regularity; Parabolic equation
• Online Access: http://www.theses.fr/2018BORD0026/document

Cette thèse est dédiée a l''etude de certaines propriétés des équations d' évolutions non-autonomes $u'(t)+A(t)u(t)=f(t), u(0)=x.$ Il s'agit précisément de la propriété de la régularité maximale $L^p$: étant donnée $fin L^{p}(0,tau;H)$, montrer l'existence et unicité de la solution $u in W^{1,p}(0,tau;H)$. Ce problème a 'et'e intensivement étudie dans le cas autonome, i.e., $A(t)=A$ pour tout $t$. Dans le cas non-autonome, le problème a été considéré par J.L.Lions en 1960. Nous montrons divers résultats qui étendent tout ce qui est connu sur ce problème. On suppose ici que la famille des opérateurs $(mathcal{A}(t))_{tin [0,tau]}$ est associée à des formes quasi-coercives, non autonomes $(fra(t))_{t in [0,tau]}.$ Nous considérons également le problème de régularité maximale pour les d'ordre 2 (équations des ondes). Plusieurs exemples et applications sont considérés. === This Thesis is devoted to certain properties of non-autonomous evolution equations $u'(t)+A(t)u(t)=f(t), u(0)=x.$ More precisely, we are interested in the maximal $L^p$-regularity: given $fin L^{p}(0,tau;H),$ prove existence and uniqueness of the solution $u in W^{1,p}(0,tau;H)$. This problem was intensively studied in the autonomous cas, i.e., $A(t)=A$ for all $t.$ In the non-autonomous cas, the problem was considered by J.L.Lions in 1960. We prove serval results which extend all previously known ones on this problem. Here we assume that the familly of the operators $(mathcal{A}(t))_{tin [0,tau]}$ is associated with quasi-coercive, non-autonomous forms $(fra(t))_{t in [0,tau]}.$ We also consider the problem of maximal regularity for second order equations (the wave equation). Serval examples and applications are given in this Thesis.