| Summary: | La théorie des bifurcations est utilisée pour étudier certains aspects des systèmes dynamiques qui intervient lorsqu'un petit changement d'un paramètre physique produit un changement majeur dans l'organisation du système. Ces phénomènes ont lieu dans les systèmes physiques, chimiques, biologiques, écologiques, économiques et sociaux. Cette idée unificatrice a été appliquée pour modéliser et explorer à la fois tant les systèmes sociaux que les systèmes physiques. Dans la première partie de cette thèse, nous appliquons les outils de la physique statistique et de la théorie des bifurcations pour modéliser le problème des décisions binaires dans les sciences sociales. Nous avons mis au point un schéma permettant de prédire l’apparition de sauts extrêmes dans ces systèmes en se basant sur la notion de précurseurs, utilisés comme signal d'alerte d'apparition de ces événements catastrophiques. Nous avons également résolu un modèle mathématique d’effondrement social fondé sur une équation de "régression logistique" utilisée pour décrire la croissance d’une population et la façon dont celle-ci peut être influencée par des ressources limitées. Ce modèle présente des bifurcations sous-critiques et nous avons étudié sa relation avec le phénomène social du « sunk-cost effect » (effet de coût irrécupérable). Ce dernier phénomène explique l’influence des investissements passés sur les décisions présentes, et la combinaison de ces deux phénomènes est utilisé comme modèle pour expliquer la désintégration de certaines sociétés anciennes (basés sur des témoignages archéologiques). Dans la deuxième partie de cette thèse, nous étudions les systèmes macroscopiques décrits par des équations différentielles stochastiques multidimensionnelles ou, de manière équivalente, par les équations multidimensionnelles de Fokker-Planck. Afin de calculer la fonction de distribution de probabilité (PDF), nous avons introduit un nouveau schéma alternatif de calcul basé sur les intégrales de chemin (« Path Integral ») lié aux processus stochastiques. Les calculs basés sur les intégrales de chemin sont effectués sur des systèmes uni et bidimensionnels et successivement comparés avec certains modèles dont on connaît la solution pour confirmer la validité de notre méthode. Nous avons également étendu ce schéma pour estimer le temps d’activation moyen (« Mean Exit Time »), ce qui a donné lieu à une nouvelle expression de calcul pour les systèmes à dimension arbitraire. A` noter que pour le cas des systèmes dynamiques à deux dimensions, les calculs de la fonction de distribution de probabilité ainsi que du temps de sortie moyen ont validé le schéma des intégrales du chemin. Ça vaut la peine de souligner que la perspective de poursuivre cette ligne de recherche repose sur le fait que cette méthode est valable pour les « non gradient systems » assujettis à des bruits d'intensité arbitraires. Cela ouvre la possibilité d'analyser des situations plus complexes où, à l'heure actuelle, il n'existe aucune méthode permettant de calculer les PDFs et/ou les METs. === Bifurcations in continuous dynamical systems, i.e., those described by ordinary differential equations, are found in a multitude of models such as those used to study phenomena related to physical, chemical, biological, ecological, economic and social systems. Using this concept as a unifying idea, in this thesis, we apply it to model and explore both Social as well as Physical systems. In the first part of this thesis we apply tools of statistical physics and bifurcation theory to model a problem of binary decision in Social Sciences. We find an scheme to predict the appearance of extreme jumps in these systems based on the notion of precursors which act as a kind of warning signal for the upcoming appearance of these catastrophic events. We also solve a mathematical model of social collapse based on a logistic re-growing equation used to model population grow and how limited resources change grow patterns. This model exhibits subcritical bifurcations and its relation to the social phenomenon of sunk-cost effect is studied. This last phenomenon explains how past investments affect current decisions and the combination of both phenomena is used as a model to explain the disintegration of some ancient societies, based on evidence from archeological records. In the second part of this thesis, we study macroscopic systems described by multidimensional stochastic differential equations or equivalently by their deterministic counterpart, the multidimensional FokkerPlanck equation. A new and alternative scheme of computation based on Path Integrals, related to stochastic processes is introduced in order to calculate the Probability Distribution Function. The computations based on this Path Integral scheme are performed on systems in one and two dimensions and contrasted to some soluble models completely validating this method. We also extended this scheme to the case of computation of Mean Exit Time, finding a new expression for each computation in systems in arbitrary dimensions. It is worth noting that in case of two-dimensional dynamical systems, the computations of both the probability distribution function as well as of the mean exit time validated the Path Integral scheme and the perspective for continuing this line of work are based on the fact that this method is valid for both arbitrary non gradient systems and noise intensities. This opens the possibility to explore new cases, for which no methods are known to obtain them.
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