| Summary: | Les travaux de thèse effectués dans le cadre de la convention Cifre conclue entrele laboratoire de mathématiques de Besançon et Digital Surf, entreprise éditrice dulogiciel d’analyse métrologique Mountains, portent sur les techniques d’analyse hyperspectrale.Sujet en plein essor, ces méthodes permettent d’exploiter des imagesissues de micro-spectroscopie, et en particulier de spectroscopie Raman. Digital Surfambitionne aujourd’hui de concevoir des solutions logicielles adaptées aux imagesproduites par ces appareils. Ces dernières se présentent sous forme de cubes de valeurs,où chaque pixel correspond à un spectre. La taille importante de ces données,appelées images hyperspectrales en raison du nombre important de mesures disponiblespour chaque spectre, obligent à repenser certains des algorithmes classiquesd’analyse d’image.Nous commençons par nous intéresser aux techniques de partitionnement de données.L’idée est de regrouper dans des classes homogènes les différents spectres correspondantà des matériaux similaires. La classification est une des techniques courammentutilisée en traitement des données. Cette tâche fait pourtant partie d’unensemble de problèmes réputés trop complexes pour une résolution pratique : les problèmesNP-durs. L’efficacité des différentes heuristiques utilisées en pratique était jusqu’àrécemment mal comprise. Nous proposons des argument théoriques permettantde donner des garanties de succès quand les groupes à séparer présentent certainespropriétés statistiques.Nous abordons ensuite les techniques de dé-mélange. Cette fois, il ne s’agit plus dedéterminer un ensemble de pixels semblables dans l’image, mais de proposer une interprétationde chaque pixel comme un mélange linéaire de différentes signatures spectrales,sensées émaner de matériaux purs. Cette déconstruction de spectres compositesse traduit mathématiquement comme un problème de factorisation en matrices positives.Ce problème est NP-dur lui aussi. Nous envisageons donc certaines relaxations,malencontreusement peu convaincantes en pratique. Contrairement au problème declassification, il semble très difficile de donner de bonnes garanties théoriques sur laqualité des résultats proposés. Nous adoptons donc une approche plus pragmatique,et proposons de régulariser cette factorisation en imposant des contraintes sur lavariation totale de chaque facteur.Finalement, nous donnons un aperçu d’autres problèmes d’analyse hyperspectralerencontrés lors de cette thèse, problèmes parmi lesquels figurent l’analyse en composantesindépendantes, la réduction non-linéaire de la dimension et la décompositiond’une image par rapport à une librairie regroupant un nombre important de spectresde référence. === This dissertation addresses hyperspectral image analysis, a set of techniques enabling exploitation of micro-spectroscopy images. Images produced by these sensors constitute cubic arrays, meaning that every pixel in the image is actually a spectrum.The size of these images, which is often quite large, calls for an upgrade for classical image analysis algorithms.We start out our investigation with clustering techniques. The main idea is to regroup every spectrum contained in a hyperspectralimage into homogeneous clusters. Spectrums taken across the image can indeed be generated by similar materials, and hence display spectral signatures resembling each other. Clustering is a commonly used method in data analysis. It belongs nonetheless to a class of particularly hard problems to solve, named NP-hard problems. The efficiency of a few heuristics used in practicewere poorly understood until recently. We give theoretical arguments guaranteeing success when the groups studied displaysome statistical property.We then study unmixing techniques. The objective is no longer to decide to which class a pixel belongs, but to understandeach pixel as a mix of basic signatures supposed to arise from pure materials. The mathematical underlying problem is again NP-hard.After studying its complexity, and suggesting two lengthy relaxations, we describe a more practical way to constrain the problemas to obtain regularized solutions.We finally give an overview of other hyperspectral image analysis methods encountered during this thesis, amongst whomare independent component analysis, non-linear dimension reduction, and regression against a spectrum library.
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