| Summary: | L'analyse des risques est devenu un enjeu majeur dans notre société. Quels que soient les champs d'application dans lesquels une situation à risque peut survenir, les mathématiques et plus particulièrement les statistiques et les probabilités se révèlent être des outils essentiels. L'objet principal de cette thèse est de développer des indicateurs de risque pertinents et d'étudier les propriétés extrémales de processus intervenant dans deux domaines d'applications : en risque alimentaire et en assurance. La théorie du risque se situe entre l'analyse des valeurs extrêmes et la théorie des variables aléatoires à variations régulières ou à queues lourdes. Dans le premier chapitre, on définit les éléments clefs de la théorie du risque ainsi que la notion de variation régulière et on introduit différents modèles liés au risque alimentaire qui seront étudiés dans les chapitres 2 et 3. Le chapitre 2 présente les travaux effectués avec Olivier Wintenberger. Pour des classes de processus stochastiques, sous des hypothèses de variations régulières, on développe une méthode qui permet d'obtenir des équivalents asymptotiques en horizon fini d'indicateurs de risque en assurance et en risque alimentaire tels que la probabilité de ruine, le "temps passé au dessus d'un seuil" ou encore la "sévérité de la ruine". Le chapitre 3 se concentre sur des modèles en risque alimentaire. Précisément, on étudie les propriétés extrémales de différentes généralisations d'un processus d'exposition à un contaminant nommé KDEM pour Kinetic Dietary Exposure Model proposé par Patrice Bertail et ses co-auteurs en 2008. Sous des hypothèses de variations régulières, on propose des équivalents asymptotiques du comportement de queue et de l'indice extrémal du processus d'exposition. Enfin, le chapitre 4 passe en revue différentes techniques statistiques particulièrement adaptées à l'étude du comportement extrémal de certains processus de Markov. Grâce à des propriétés de régénérations, il est possible de découper le chemin des observations en blocs indépendants et identiquement distribués et de n'étudier ainsi que le processus sur un bloc. Ces techniques s'appliquent même si la chaîne de Markov n'est pas atomique. On se concentre ici sur l'estimation de l'indice de queue et de l'indice extrémal. On illustre la performance de ces techniques en les appliquant sur deux modèles - en assurance et en finance - dont on connaît les résultats théoriques === Risk analyses play a leading role within fields such as dietary risk, hydrology, nuclear security, finance and insurance and is more and more present in theapplications of various probability tools and statistical methods. We see a significant impact on the scientific literature and on public institutions in the past years. Risk theory, which is really close to extreme value analysis, typically deals with the occurrences of rare events which are functions of heavy-tailed random variables, for example, sums or products of regularly varying random variables. The purpose of this thesis is the following : to develop revelant risk indicators and to study the extremal properties of stochastic processes used in dietary risk assessment and in insurance. In Chapter 1, we present the main tools used in risk theory and the notion of regular variation and introduce different models involved in dietary risk assessment, which will be specifically studied in Chapters 2 and 3. Chapter 2 presents a joint work with Olivier Wintenberger. For a particular class of stochastic processes, under the assumption of regular variation, we propose a method that gives way to asymptotic equivalents on a finite-time horizon of risk indicators such as the ruin probability, the Expected Time over a Threshold or the Expected Severity of the ruin. Chapter 3 focuses on dietary risk models. To be precise, we study the extremal properties of an extension of a model called KDEM for Kinetic Dietary Exposure Model introduced by Patrice Bertail and his co-authors in 2008. Under the assumption of regular variation, we provide asymptotic equivalents for the tail behavior and the extremal index of the exposure process. In Chapter 4, we review different statistical tools specifically tailored for the study of the extremal behavior of Markov processes. Thanks to regeneration properties, we can split the path of observations into blocks which are independent and identically distributed. This technic still works even if the Markov chain is not atomic. We focus here on the estimation of the tail index and the extremal index. We illustrate the performance of these technics applying them on two models in insurance and finance for which we know the theoritical results.
|
|---|
