Les variations des processus auto-similaires : Contributions à l'étude des draps browniens fractionnaires et de la solution de l'équation stochastique des ondes

• Main Author: Khalil, Marwa
• Other Authors: Lille 1
• Language: fr
• Published: 2017
• Subjects: Auto-Similarité; Transformation de Lamperti; Variation quadratique; Paramètre de Hurst; 519.23
• Online Access: http://www.theses.fr/2017LIL10176/document

Cette thèse est divisée en trois chapitres distincts, ayant comme dénominateur commun l'analyse stochastique de certains champs gaussiens. Les processus stochastiques multiparamétriques qui apparaissent dans ce manuscrit sont généralement auto-similaires. L'auto-similarité est la propriété qu’un processus stochastique préserve sa loi après un changement d'échelle du temps. Dans une première partie, nous avons mis en évidence des nouveaux aspects du drap brownien fractionnaire en utilisant essentiellement la notion de la transformation de Lamperti. Un focus sur l'équation différentielle stochastique vérifiée par cette transformée, a été aussi évoqué. Dans une deuxième partie, nous avons analysé le comportement asymptotique en loi des variations quadratiques spatiales des processus qui sont des solutions de deux types d'équations différentielles stochastiques partielles des ondes perturbées par deux sortes des bruits gaussiens auto-similaires. L'outil principal de notre raisonnement était des nouveaux critères basés sur le calcul stochastique de Malliavin et combinés avec la méthode classique de Stein. En guise d'application, nous avons construit un estimateur de l'indice de Hurst H du bruit fractionnaire en se basant sur les variations quadratiques étudiées. === This thesis is divided into three distinct chapters with a common denominator which is the stochastic analysis of some Gaussian fields. The multi-parameter stochastic processes that appeared in this manuscript are generally self-similar. Self-similarity is the property that a stochastic process preserves its law after a scaling of time. Firstly, we deduced new aspects of the fractional Brownian sheet, using essentially the notion of the Lamperti transform. A Focus on the stochastic differential equation verified by this transform sheet was also mentioned. Secondly, we analyzed the asymptoticbehavior of the spatial quadratic variations of processes that are solutions of two types of stochastic wave equations perturbed by two kinds of self-similar Gaussian noises. The main tool in our reasoning was new criteria based on the Malliavin calculus and combined with the classical method of Stein. As an application, we constructed, by the aid of the quadratic variations, an estimator of the Hurst index H of the fractional noise.