Etude de l'équation harmonique dans un ouvert avec des conditions non linéaires de flux au bord

• Main Author: Boukarabila, Youssouf Oussama
• Other Authors: Tours
• Language: fr
• Published: 2016
• Subjects: Équation harmonique; Mesures de Radon; Singularités (mathématiques); Singularité éliminable; Dérivation de Lie; Noyau de Bessel; Mesure de Haussdorff
• Online Access: http://www.theses.fr/2016TOUR4031/document

L’objectif principal de cette thèse est divisée en deux parties. La première partie est consacrée à l’étude du problème, { −Δu + u = 0 dans Ω, ∂u/∂n + g(u) = μ sur ∂Ω, (0.1) où Ω est un ouvert régulier borné de ℝᴺ, g(·) est une fonction continue qui vérifie la condition du signe s · g(s) ≥ 0, dans certains modèles on ajoute l’hypothèse g(·) croissante, et finalement μ est une mesure bornée sur ∂Ω. Certains de nos résultats sont valables lorsque Ω := ℝᴺ+ . On commencera par montrer l’existence de solution de (0.1) lorsque μ est une fonction de L1(∂Ω), et cela sans ajouter une hypothèse supplémentaire sur g(·). Puis, on étudiera (0.1) lorsque μ est une mesure de Radon sur ∂Ω, dans ce contexte, le problème (0.1) pourra ne pas admettre une solution, et des conditions apparaissent sur g(·) et sur μ pour assurer l’existence d’une solution. On montrera l’existence de solutions lorsque, g(·) est une non-linéarité sous-critique en dimension N supérieure ou égale à trois, et lorsque g(·) satisfait l’hypothèse de singularité faible sur le bord en dimension N égale à deux (voir Chapitre 2 pour définitions). === The main aim of this thesis is divided into two parts. The first part is devoted to the study of the problem, { −Δu + u = 0 in Ω, ∂u/∂n + g(u) = μ on ∂Ω, (0.3) where Ω is a bounded regular domain of ℝᴺ, g(·) is a continuous function that satisfies the sign condition s · g(s) ≥ 0, in some model case we will assume that g(·) is increassing, and finally μ is a bounded measure on ∂Ω. Some of our results remain true when Ω := ℝᴺ+ . We will start by proving the existence of a solution of (0.3) when μ is an L1(∂Ω) function, and this independently of the nonlinearity g(·) that satisfies the previous hypothesis. Then, we will study (0.3) when μ is a Radon measure on ∂Ω. In such a context, some new conditions appear on g(·) and μ that assure the existence of a solution. We will prove the existence of a solution when g(·) is a sub-critical nonlinearity in dimension N larger or equal to three, and when g satisfies the weak singularity assumption on the boundary in case N equals two (see Chapter 2 for the definitions).