Opérateurs de composition sur les espaces modèles

• Main Author: Karaki, Muath
• Other Authors: Lille 1
• Language: en
• Published: 2015
• Subjects: Espace modèle; Compacité d'un opérateur; Fonction de comptage de Nevanlinna; 515.724
• Online Access: http://www.theses.fr/2015LIL10075/document

Cette thèse est consacrée à l'étude des opérateurs de composition sur les espaces modèles. Soit [Phi] une fonction analytique du disque unité dans lui-même et soit [Théta] une fonction intérieure, c'est à  dire une fonction holomorphe et bornée par 1 dont les limites radiales sur le cercle sont de module 1 presque partout par rapport à la mesure de Lebesgue. A cette fonction [Théta], on associe l'espace modèle K[Théta], défini comme l'ensemble des fonctions f ∈ H² qui sont orthogonales au sous-espace [Théta]H². Ici H² est l'espace de Hardy du disque unité. Ces sous-espaces sont importants en théorie des opérateurs car ils servent à modéliser une large classe de contractions sur un espace de Hilbert. Le premier problème auquel nous nous intéressons concerne la compacité d'un opérateur de composition C[Phi] vu comme opérateur de K[Théta], dans H². Récemment, Lyubarskii et Malinnikova ont obtenu un joli critère de compacité pour ces opérateurs qui fait intervenir la fonction de comptage de Nevanlinna du symbole [Phi]. Ce critère généralise le critère classique de Shapiro. Dans une première partie de la thèse, nous généralisons ce résultat de Lyubarskii-Malinnikova à une classe plus générale de sous-espaces, à savoir les espaces de de Branges-Rovnyak ou certains de leurs sous-espaces. Les techniques utilisées sont en particulier des inégalités  fines de type Bernstein pour ces espaces. Le deuxième problème auquel nous nous intéressons dans cette thèse concerne l'invariance de K[Théta] sous l'action de C [Phi]. Ce problème nous amène à considérer une structure de groupe sur le disque  unité du plan complexe via les automorphismes qui fixent le point 1. A travers cette action de groupe, chaque point du disque produit une classe d'équivalence qui se trouve être une suite de Blaschke. On montre alors que les produits de Blaschke correspondant sont des solutions "minimales" d'une équation fonctionnelle [Psi]°[Phi]=[Lambda][Psi], où [Lambda] est une constante unimodulaire et [Phi] un automorphisme du disque unité. Ces résultats sont ensuite appliqués au problème d'invariance d'un espace modèle par un opérateur de composition. === This thesis concerns the study of composition operators on model spaces. Let [Phi] be an analytic function on the unit disk into itself and let [Théta] be an inner function, that is a holomorphic function bounded by 1 such that the radial limits on the unit circle are of modulus 1 almost everywhere with respect to Lebesgue measure. With this function [Théta], we associate the model space K[Théta], defined as the set of functions f ∈ H², which are orthogonal to the subspace [Théta]H². Here H² is the Hardy space on the unit disc. These subspaces are important in operator theory because they are used to model a large class of contractions on Hilbert space. The first problem which we are interested in concerns the compactness of the composition operator C[Phi] as an operator on H² into H². Recently, Lyubarskii and Malinnikova have obtained a nice criterion for the compactness of these operators which is related to the Nevanlinna counting function. This criterion generalizes the classical criterion of Shapiro. In the first part of the thesis, we generalize this result of Lyubarskii-Malinnikova to a more general class of subspaces, known as de Branges-Rovnyak spaces or some subspaces of them. The techniques that are used are particular Bernstein type inequalities of these spaces.The second problem in which we are interested in this thesis concerns the invariance of K[Théta] under C[Phi]. We present a group structure on the unit disc via the automorphisms which fix the point 1. Then, through theinduced group action, each point of the unit disc produces an equivalence class which turns out to be a Blaschke sequence. Moreover, the corresponding Blaschke products are minimal solutions of the functional equation [Psi]°[Phi]=[Lambda][Psi] where [Lambda] is a unimodular constant and is an automorphism of the unit disc. These results are applied in the invariance problem of the model spaces by the composition operator.