| Summary: | Cette thèse étudie différentes relaxations pour minimiser des fonctionnelles non convexes qui apparaissent en traitement d’images. Des problèmes comme la segmentation d’image peuvent en effet s’écrire comme un problème de minimisation d’une certaine fonctionnelle, le minimiseur représentant la segmentation recherchée. Différentes méthodes ont été proposées pour trouver des minima locaux ou globaux de la fonctionnelle non convexe du modèle de Mumford-Shah constant par morceaux à deux phases. Certaines approches utilisent une relaxation convexe qui permet d’obtenir des minima globaux de la fonctionnelle non convexe. On rappelle et compare certaines de ces méthodes et on propose un nouveau modèle par bande étroite, qui permet d’obtenir des minima locaux tout en utilisant des algorithmes robustes qui proviennent de l’optimisation convexe. Ensuite, on construit une relaxation convexe d’un modèle de segmentation à deux phases qui repose sur la comparaison entre deux histogrammes donnés et les histogrammes estimés globalement sur les deux régions de la segmentation. Des relaxations pour des problèmes multi-étiquettes à plusieurs dimensions comme le flot optique sont également étudiées. On propose une relaxation convexe avec un algorithme itératif qui ne comprend que des projections qui se calculent exactement, ainsi qu’un nouvel algorithme pour une relaxation convexe sur chaque variable mais non convexe globalement. On étudie la manière d’estimer une solution du problème non convexe original à partir d’une solution d’un problème relaxé en comparant des méthodes existantes avec des nouvelles === In this thesis we study different relaxations of non-convex functionals that can be found in image processing. Some problems, such as image segmentation, can indeed be written as the minimization of a functional. The minimizer of the functional represents the segmentation. Different methods have been proposed in order to find local or global minima of the non-convex functional of the two-phase piecewise constant Mumford-Shah model. With a convex relaxation of this model we can find a global minimum of the nonconvex functional. We present and compare some of these methods and we propose a new model with a narrow band. This model finds local minima while using robust convex optimization algorithms. Then a convex relaxation of a two-phase segmentation model is built that compares two given histograms with those of the two segmented regions. We also study some relaxations of high-dimension multi-label problems such as optical flow computation. A convex relaxation with a new algorithm is proposed. The algorithm is iterative with exact projections. A new algorithm is given for a relaxationthat is convex in each variable but that is not convex globally. We study the problem of constructing a solution of the original non-convex problem with a solution of the relaxed problem. We compare existing methods with new ones.
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