| Summary: | Dans cette thèse, nous discutons l'influence d'un réseau qui possède une topologie non triviale sur les propriétés collectives d'un modèle hamiltonien pour spins,le modèle $XY$, défini sur ces réseaux.Nous nous concentrons d'abord sur la topologie des chaînes régulières et du réseau Petit Monde (Small World), créé avec le modèle Watt- Strogatz.Nous contrôlons ces réseaux par deux paramètres $\gamma$, pour le nombre d' interactions et $p$, la probabilité de ré-attacher un lien aléatoirement.On définit deux mesures, le chemin moyen $\ell$ et la connectivité $C$ et nous analysons leur dépendance de $(\gamma,p)$.Ensuite,nous considérons le comportement du modèle $XY$ sur la chaîne régulière et nous trouvons deux régimes: un pour $\gamma<1,5$,qui ne présente pas d'ordre longue portée et un pour $\gamma>1,5$ où une transition de phase du second ordre apparaît.Nous observons l'existence d'un état métastable pour $\gamma_ {c} = 1,5$. Sur les réseaux Petit Monde,nous illustrons les conditions pour avoir une transition et comment son énergie critique $\varepsilon_{c}(\gamma,p)$ dépend des paramètres $(\gammap$).Enfin,nous proposons un modèle de réseau où les liens d'une chaîne régulière sont ré-attachés aléatoirement avec une probabilité $p$ dans un rayon spécifique $r$. Nous identifions la dimension du réseau $d(p,r)$ comme un paramètre crucial:en le variant,il nous est possible de passer de réseaux avec $d<2$ qui ne présentent pas de transition de phase à des configurations avec $d>2$ présentant une transition de phase du second ordre, en passant par des régimes de dimension $d=2$ qui présentent des états caractérisés par une susceptibilité infinie et une dynamique chaotique. === In this thesis we discuss the influence of a non trivial network topology on the collective properties of an Hamiltonian model defined on it, the $XY$ -rotors model. We first focus on networks topology analysis, considering the regular chain and a Small World network, created with the Watt-Strogatz model. We parametrize these topologies via $\gamma$, giving the vertex degree and $p$, the probability of rewiring. We then define two topological parameters, the average path length $\ell$and the connectivity $C$ and we analize their dependence on $\gamma$ and $p$. Secondly, we consider the behavior of the $XY$- model on the regular chain and we find two regimes: one for $\gamma<1.5$, which does not display any long-range order and one for $\gamma>1.5$ in which a second order phase transition of the magnetization arises. Moreover we observe the existence of a metastable state appearing for $\gamma_{c}=1.5$. Finally we illustrate in what conditions we retrieve the phase transition on Small World networks and how its critical energy $\varepsilon_{c}(\gamma,p)$ depends on the topological parameters $\gamma$ and $p$. In the last part, we propose a network model in which links of a regular chain are rewired according to a probability $p$ within a specific range $r$. We identify a quantity, the network dimension $d(p,r)$ as a crucial parameter. Varying this dimension we are able to cross over from topologies with $d<2$ exhibiting no phase transitions to ones with $d>2$ displaying a second order phase transition, passing by topologies with dimension $d=2$ which exhibit states characterized by infinite susceptibility and macroscopic chaotic dynamical behavior.
|
|---|
