Croissance du volume des boules dans les revêtements universels des graphes et des surfaces

• Main Author: Karam, Steve
• Other Authors: Tours
• Language: fr; en
• Published: 2013
• Subjects: Surface; Graphe; Revêtement universel; Entropie; Aire des boules; Systole; Lacets homotopiquement indépendants; Inégalités géometriques; Graph; Universal cover; Entropy; Area of balls; Homologically independent loops; Geometric inequalities
• Online Access: http://www.theses.fr/2013TOUR4049/document

Dans le cadre de la géométrie riemannienne globale sans hypothèse de courbure en lien avec la topologie, nous nous intéressons au volume maximal des boules de rayon fixé dans les revêtements universels des graphes et des surfaces. Dans la première partie, nous prouvons que si l’aire d’une surface riemannienne fermée M de genre g ≥ 2 est suffisamment petite par rapport à son aire hyperbolique, alors pour chaque rayon R ≥ 0, le revêtement universel de M contient une R-boule d’aire au moins l’aire d’une cR-boule dans le plan hyperbolique, où c ∈ (0; 1) est une constante universelle. En particulier (quitte à prendre l’aire de la surface encore plus petite), nous démontrons que pour chaque rayon R ≥ 1, le revêtement universel de M contient une R-boule d’aire au moins l’aire d’une R-boule dans le plan hyperbolique. Ce résultat répond positivement pour les surfaces, à une question de L. Guth. Nous démontrons également que si Γ est un graphe connexe de premier nombre de Betti b ≥ 2 et de longueur suffisamment petite par rapport à la longueur d’un graphe trivalent Γb de premier nombre de Betti b dont la longueur de chaque arête est 1, alors pour chaque rayon R ≥ 0, le revêtement universel de Γ contient une R-boule d’aire au moins c fois l’aire d’une R-boule dans le revêtement universel de Γb, où c ∈ ( ½ ; 1). === This thesis deals with global Riemannian geometry without curvature assumptions and its link to topology, we focus on the maximal volume of balls of fixed radius in the universal covers of graphs and surfaces. In the first part, we prove that if the area of a closed Riemannian surface M of genus at least two is sufficiently small with respect to its hyperbolic area, then for every radius R ≥ 0 the universal cover of M contains an R-ball with area at least the area of a cR-ball in the hyperbolic plane, where c ∈ (0; 1) is a universal positive constant. In particular (taking the area of M smaller if needed), we prove that for every radius R ≥ 1, the universal cover of M contains an R-ball with area at least the area of a ball with the same radius in the hyperbolic plane. This result answers positively a question of L. Guth for surfaces. We also prove an analog result for graphs. Specifically, we prove that if Γ is a connected metric graph of first Betti number b ≥ 2 and of length sufficiently small with respect to the length of a connected trivalent graph Γb of the same Betti number where the length of each edge is 1, then for every radius R ≥ 0 the universal cover of Γ contains an R-ball with length at least c times the length of an R-ball in the universal cover of Γb, where c ∈ ( ½ ; 1) is a universal constant.