Orientations des graphes : structures et algorithmes

• Main Author: Durand de Gevigney, Olivier
• Other Authors: Grenoble
• Language: en
• Published: 2013
• Subjects: Graphe; Orientation; Connexité; Packing; Matroïde; Graph; Connectivity; Matroid; 510; 621
• Online Access: http://www.theses.fr/2013GRENM027/document

Orienter un graphe c'est remplacer chaque arête par un arc de mêmes extrémités. On s'intéresse à la connexité du graphe orienté ainsi obtenu. L'orientation avec des contraintes d'arc-connexité est maintenant comprise en profondeur mais très peu de résultats sont connus en terme de sommet-connexité. La conjecture de Thomassen avance que les graphes suffisament sommet-connexes ont une orientation k-sommet-connexe. De plus, la conjecture de Frank propose une caractérisation des graphes qui admettent une telle orientation. Les résultats de cette thèse s'articulent autour des notions d'orientation, de packing, de connexité et de matroïde. D'abord, nous infirmons une conjecture de Recski sur la décomposition d'un graphe en arbres ayant des orientations avec degrés entrants prescrits. Nous prouvons également un nouveau résultat sur le packing d'arborescences enracinées avec contraintes de matroïdes. Ceci généralise un résultat fondamental d'Edmonds. Enfin, nous démontrons un nouveau théorème de packing sur les bases des matroïdes de dénombrement qui nous permet d'améliorez le seul résultat connu sur la conjecture de Thomassen. D'autre part, nous donnons une construction et un théorème d'augmentation pour une famille de graphes liée à la conjecture de Frank. En conclusion, nous réfutons la conjecture de Frank et prouvons que, pour tout entier k >= 3, décider si un graphe a une orientation k-sommet-connexe est un problème NP-complet. === Orienting an undirected graph means replacing each edge by an arc with the same ends. We investigate the connectivity of the resulting directed graph. Orientations with arc-connectivity constraints are now deeply understood but very few results are known in terms of vertex-connectivity. Thomassen conjectured that sufficiently highly vertex-connected graphs have a k-vertex- connected orientation while Frank conjectured a characterization of the graphs admitting such an orientation. The results of this thesis are structures around the concepts of orientation, packing, connectivity and matroid. First, we disprove a conjecture of Recski on decomposing a graph into trees having orientations with specified indegrees. We also prove a new result on packing rooted arborescences with matroid constraints. This generalizes a fundamental result of Edmonds. Moreover, we show a new packing theorem for the bases of count matroids that induces an improvement of the only known result on Thomassen's conjecture. Secondly, we give a construction and an augmentation theorem for a family of graphs related to Frank's conjecture. To conclude, we disprove the conjecture of Frank and prove that, for every integer k >= 3, the problem of deciding whether a graph admits a k-vertex-orientation is NP-complete.