Flots géométriques d'ordre quatre et pincement intégral de la courbure

• Main Author: Bour, Vincent
• Other Authors: Grenoble
• Language: fr
• Published: 2012
• Subjects: Géométrie riemannienne; Flots géométriques; Pincement intégral; Rigidité; Équations d'ordre quatre; Technique de Bochner; Riemannian geometry; Geometric flows; Integral pinching; Rigidity; Fourth-order equations; Bochner technique
• Online Access: http://www.theses.fr/2012GRENM040/document

On étudie des flots géométriques d'ordre quatre sur des variétés riemanniennes compactes, qui apparaissent naturellement comme flots de gradient de fonctionnelles quadratiques en la courbure. Lorsque la constante de Yamabe reste minorée par une constante strictement positive le long du flot, on montre que la variété ne s'effondre pas, et qu'une suite de métriques dilatées au voisinage d'un temps singulier converge vers une variété complète qui modélise la singularité. En particulier, en dimension quatre, cette hypothèse est vérifiée pour une certaine classe de flots de gradients, du moment que l'énergie initiale est inférieure à une constante explicite. Les singularités de ces flots sont alors modélisées par des variétés complètes et non compactes, dont le tenseur de Bach et la courbure scalaire s'annulent. En combinant une formule de Weitzenböck avec l'inégalité de Sobolev induite par la positivité de la constante de Yamabe, on montre une série de résultats de rigidité pour des métriques dont la courbure est intégralement pincée. En particulier, on prouve un théorème de rigidité pour les variétés de dimension quatre à tenseur de Bach et à courbure scalaire nuls, qui implique que les singularités de notre classe de flots de gradient ne peuvent exister que si l'énergie initiale est supérieure à une certaine constante. Dans le cas contraire, ces flots existent pour tous temps positifs et convergent vers une métrique à courbure sectionnelle constante et positive. On retrouve ainsi un "théorème de la sphère" pour les variétés compactes de dimension quatre dont la courbure est intégralement pincée. En appliquant cette même méthode aux formes harmoniques d'une variété à courbure intégralement pincée, on démontre une version intégrale du théorème de Bochner-Weitzenböck. On en déduit l'annulation des nombres de Betti sous diverses conditions de pincement intégral, et on caractérise les cas d'égalité. === We study fourth-order geometric flows on compact Riemannian manifolds, which naturally appear as gradient flows of quadratic curvature functionals. When the Yamabe constant remains bounded from below by a positive constant along the flow, we show that the manifold doesn't collapse, and that a sequence of dilated metrics near a singular time converges to a singularity model. In particular, in dimension four, this assumption is satisfied by a class of gradient flows, provided that the initial energy is less than an explicit constant. The singularities of these flows are then modeled by complete non-compact manifolds, which are Bach-flat and scalar-flat. By combining a Weitzenböck formula with the Sobolev inequality induced by the positivity of the Yamabe constant, we prove several rigidity results for metrics with integral pinched curvature. In particular, we prove a rigidity result for Bach-flat and scalar-flat manifolds in dimension four, which implies that the singularities of our gradient flows can only exist when the initial energy is bigger than a given constant. When this is not the case, these flows exist for all time, and converge to a metric with constant positive curvature. It provides a proof of a "sphere theorem" for closed four-dimensional manifolds with integral pinched curvature. Applying the same method to harmonic forms on an integral pinched manifold, we prove an integral version of the Bochner-Weitzenböck theorem. As a corollary, we obtain the vanishing of Betti numbers under various integral pinching conditions, and we characterize the equality cases.