Minimisation d'énergie sous contraintes : applications en algèbre linéaire et en contrôle linéaire

• Main Author: Gryson, Alexis
• Other Authors: Lille 1
• Language: fr
• Published: 2009
• Subjects: Méthode ADI; Problème de Zolotarev; Équation de Sylvester-Lyapounov
• Online Access: http://www.theses.fr/2009LIL10034/document

Le problème de Zolotarev pour des ensembles discrets apparaît pour décrire le taux de convergence de la méthode ADI, dans l’approximation de certaines fonctions matricielles ou encore pour quantifier le taux de décroissance des valeurs singulières de certaines matrices structurées. De plus, la réduction de modèle constitue un enjeu important en théorie du contrôle linéaire, et on peut prédire la qualité de l’approximation d’un système dynamique linéaire continu stationnaire de grande dimension donné grâce à la résolution approchée d’une équation de Sylvester. Après avoir prouvé l’existence d’un minimiseur pour le troisième problème de Zolotarev pour des ensembles discrets, on détermine dans cette thèse le comportement asymptotique faible de ce problème sous certaines hypothèses de régularité. Pour mener cette étude, on considère un problème de minimisation d’énergie sous contraintes pour des mesures signées en théorie du potentiel logarithmique.On discute également la précision de nos résultats asymptotiques pour des ensembles discrets généraux du plan complexe, et une formule intégrale explicite est établie dans le cas particulier de deux sous-ensembles discrets de l’axe réel symétriques par rapport à l’origine. L’impact de nos résultats théoriques pour l’analyse du taux de convergence de la méthode ADI appliquée pour la résolution approchée d’une équation de Lyapounov est estimé à l’aide de plusieurs exemples numériques après avoir exposé l’algorithme nous permettant d’obtenir les paramètres utilisés. Mots clés : Théorie du potentiel === The Zolotarev problem with respect to discrete sets arises naturally to describe both the convergence rate of the ADI method, to compute approximation of various functions of matrices and to quantify the decreasing rate of singular values of structured matrices. Moreover, the theory of model reduction is a key problem in linear control theory, and the quality of the approximation of continuous stationnary linear dynamical system might be predicted with the computation of the solution of a Sylvester equation. Once proved the existence of a minimizer for the third Zolotarev problem with respect to discrete sets, we give the weak asymptotic behaviour of the Zolotarev quantity under some regularity hypothesis. In this purpose, we introduce a problem of energy minimization with constraints in logarithmic potential theory with respect to signed measures. We discuss the accuracy of our results for general discrete sets in the complex plane, and we prove an explicit integral formula in the particular case of two discret subsets of the real axis symmetric with respect to the imaginary axis. Then, the impact of our theoretical results concerning the analysis of the convergence rate of the ADI method applied to solve a Sylvester equation is estimated with various numerical examples after the description of the algorithm which we used to compute the parameters.