[en] ON SPECTRAL RADIUS OF A CLASS OF OPERATORS TRANSFORMATIONS

• Main Author: GISELLE MARTINS DOS SANTOS FERREIRA
• Other Authors: CARLOS KUBRUSLY
• Language: pt
• Published: MAXWELL 2006
• Subjects: [pt] ESPACOS DE HILBERT; [en] HILBERT SPACES; [pt] RESULTADO; [en] RESULT
• Online Access: https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=8592@1; https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=8592@2; http://doi.org/10.17771/PUCRio.acad.8592

[pt] As transformações F e F(diferente) surgiram associados ao problema de estabilidade em média-quadrática de sistemas bilineares discretos de dimensão infinita evoluindo em espaços de Hilbert separáveis, tendo sido originariamente definidas através de séries infinitas na álgebra de Banach dos operadores lineares e limitados no espaço de Hilbert em que o sistema evolui. O presente trabalho parte de uma condição suficiente para a estabilidade, condição esta anteriormente determinada, que se traduz imposições sobre os raios espectrais das transformações mencionadas ambos estritamente menores que um- e do fato já conhecido de que, a condição sendo parcialmente satisfeita, isto é, um dos raios espectrais menor que um, não implica que ela o seja por completo. Deste modo, coloca-se uma primeira questão: em que casos tal implicação existe? O estudo é então desenvolvido sobre a simplificação das condições que originaram: as transformações F e F (diferente) são tomadas simplificadamente como somas de apenas dois termos, e a questão inicial se converte na pesquisa de casos em que a igualdade entre raios espectrais de F e F(diferente) ocorre. Mais precisamente, os termos que compõem F e F(diferente) se constitui em produtos de operadores pertencentes à álgebra de Banach inicialmente referida, de modo que é feita uma análise do comportamento dos raios espectrais de F e F(diferente) situando-se esses operadores em classes específicas nessa álgebra. Sob estas condições são apresentados resultados relativos às classes dos operadores auto-adjuntos, unitários, normais, isometrias e subnormais, assim como um resultado referente aos shifts ponderados. Além disto, é apresentado um resultado geral para o caso de espaços de dimensão finita. === [en] The transformations f and F(different) appeared associated to the mean-square stability problem for infinite dimensional discrete bilinear systems evolving in a separable Hilbert space, being originally defined as infinite series in the Banach algebra of bounded linear operators on the Hilbert space where the system evolves. The present work starts with a previously defined sufficient stability condition, expressed by assumptions on the spectral radiuses of the mentioned transformations - both strictly less than one- and from the already known fact that the condition being partially fulfilled, that is, one of the spectral radiuses less than one, does not imply that it be so completely. Thus one poses a first question: in which cases does one have such an implication? The study is then developed on a simplification of the conditions from which it arose: both F and F(different) are taken as sums of only terms, and the initial question becomes the search for cases in which the equality betweem the spectral radiuses of F and F(different) occurs. More precisely, the terms that compose F and F(different) are products of operators in the above mentioned algebra, so that the behaviour of the spectral radiuses of F and F (different) is analysed by placing those operators in specific classes in that algebra. Under these assumptions, results related to the classes of self-adjoint, unitary, normal, isometries and subnormal operators are presented, as well as result referring to weighted shifts. Besides, a general result related to finite-dimensional spaces is also presented.