[pt] DINÂMICAS MINIMAIS EM CONJUNTOS DE CANTOR E DIAGRAMAS DE BRATTELI

• Other Authors: LORENZO JUSTINIANO DíAZ CASADO
• Language: pt
• Published: MAXWELL 2021
• Subjects: [pt] CONJUNTO DE CANTOR; [pt] ODOMETRO; [pt] MINIMALIDADE; [pt] GRUPO ABELIANO ORDENADO; [pt] EQUIVALENCIA ORBITAL; [pt] DIAGRAMA DE BRATTELI; [en] CANTOR SET; [en] ODOMETER; [en] MINIMALITY; [en] ABELIAN ORDERED GROUP; [en] ORBITAL EQUIVALENCE; [en] BRATTELI DIAGRAM
• Online Access: https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=53289@1; https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=53289@2; http://doi.org/10.17771/PUCRio.acad.53289

[pt] Um diagrama de Bratteli B é um objeto combinatório representado por um grafo dividido em infinitos níveis, cada um com número finito de vértices e de arestas entre vértices de níveis consecutivos. Além disso, todo vértice possui ligação com vértices dos níveis precedente e sucessor. Estudamos, do ponto de vista topológico, o espaço dos caminhos infinitos formados pelas arestas de um diagrama de Bratteli, denotado por XB. Estabelecemos uma relação de equivalência neste espaço, denominada AF. Quando é possível definir uma ordem parcial em XB o diagrama é dito ordenado; neste caso, definimos um homeomorfismo em XB denominado de função de Bratteli-Vershik. Consideramos sistemas dinâmicos minimais definidos em conjuntos de Cantor e associamos a estes diagramas de Bratteli ordenados. Um exemplo paradigmático de um conjunto de Cantor é o espaço das sequências infinitas formadas por 00s e 10s, munido de uma métrica apropriada. Neste espaço são definidas as funções odômetro. Definimos a relação de equivalência orbital, na qual duas sequências são equivalentes se estão na mesma órbita do odômetro, e a relação de equivalência de caudas, onde duas sequências são equivalentes se a partir de alguma entrada elas são iguais. Estudamos como estas duas relações estão relacionadas. Provamos que o odômetro diádico é um homeomorfismo minimal definido em um conjunto de Cantor e, portanto, pode ser associado a um diagrama de Bratteli ordenado. Uma relação de equivalência é dita étale quando admite uma topologia gerada por uma ação local. Dois exemplos são as relações AF e orbital. Dada uma relação de equivalência étale R em um espaço X, definimos um invariante algébrico D(X,R). Construímos o grupo de dimensão de um diagrama de Bratteli. Provamos, então, que dado um diagrama de Bratteli B, seu grupo de dimensão é isomorfo a D(XB,RB), onde RB é relação AF de B. Finalmente, estudamos sob quais condições um grupo abeliano ordenado é o grupo de dimensão de um diagrama de Bratteli. Esta dissertação é baseada no livro de Ian F. Putnam Cantor minimal systems, publicado em University Lecture Series, 70. American Mathematical Society, Providence, RI, 2018. [6]. === [en] A Bratteli diagram B is a combinatorial object represented by a graph divided into infinite levels, each level with a finite number of vertices and edges between vertices of consecutive levels. Moreover, every vertex is connected to vertices of the preceding and successor levels. We study, from a topological point of view, the space of infinite paths formed by the edges of a Bratteli diagram, denoted by XB. We establish an equivalence relation on this space, called the AF relation. When it is possible to define a partial order in XB the Bratteli diagram is called ordered; in this case, we define a homeomorphism on XB called the Bratteli-Vershik function. We consider minimal dynamic systems defined on Cantor sets and associate to these systems ordered Bratteli diagrams. A paradigmatic example of a Cantor set is the space of the infinite sequences formed by 00s and 10s, equipped with an appropriate metric. In this space, are defined the odometer functions. We define the orbital equivalence relation, in which two elements of the Cantor set are equivalent if they are in the same orbit of the odometer, and the tail equivalence relation, where two sequences are equivalents if they differ in only finitely many entries. We study how these equivalence relations are related. We prove that the dyadic odometer is a minimal homeomorphism and, therefore, it can be associated to a ordered Bratteli diagram. An equivalence relation is called étale if it admits a topology generated by a local action. Two examples are the AF equivalence relation and the orbital equivalence relation above. Given an étale equivalence relation R on a space X, we define an algebraic invariant D(X,R). We construct the dimension group of a Bratteli diagram. Then, we prove that given a Bratteli diagram B, its dimension group is isomorphic to D(XB,RB), where RB is the AF equivalence relation of B. Finally, we study under which conditions an ordered abelian group is the dimension group for some Bratteli diagram. This master thesis is based on the book by Ian F. Putnam Cantor minimal systems, published in University Lecture Series, 70. American Mathematical Society, Providence, RI, 2018. [6].