[en] QUASIPERIODICITY AND THE POSITIVITY OF LYAPUNOV EXPONENTS

• Main Author: LUCAS BARBOSA GAMA
• Other Authors: SILVIUS KLEIN
• Language: en
• Published: MAXWELL 2019
• Subjects: [pt] A FAMILIA QUADRATICA; [en] THE QUADRATIC FAMILY; [pt] O TEOREMA DE SINGER; [en] SINGER S THEOREM; [pt] O TEOREMA DE BENEDICKS-CARLESON; [en] BENEDICKS-CARLESON S THEOREM; [pt] EXPOENTES DE LYAPUNOV; [en] LYAPUNOV EXPONENTS; [pt] GRANDES DESVIOS; [en] LARGE DEVIATIONS; [pt] COCICLOS DE SCHRODINGER QUASE PERIODICOS; [en] QUASI-PERIODIC SCHRUDINGER COCYCLES
• Online Access: http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=36075@1; http://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=36075@2; http://doi.org/10.17771/PUCRio.acad.36075

[pt] O teorema de Benedicks e Carleson afirma que para a família quadrática existe um conjunto de parâmetros, com medida positiva, para os quais o expoente de Lyapunov é positivo no ponto crítico. Nesta dissertação apresentamos uma demonstração rigorosa e detalhada desse célebre resultado. Uma parte importante da demonstração é o estudo do comportamento quase periódico de um conjunto de órbitas. Além disso, um argumento de grandes desvios é utilizado para mostrar que os parâmetros que não satisfazem a propriedade desejada formam um conjunto pequeno. Tais técnicas apresentam um interesse intrínseco, já que têm se mostrado muito proveitosas para o estudo de outros problemas em sistemas dinâmicos. Combinando o teorema de Benedicks e Carleson ao teorema de Singer, conclui-se que para um conjunto de parâmetros com medida positiva, a função quadrática correspondente não admite atratores periódicos, indicando um comportamento caótico. Neste trabalho, também são estudados critérios para a positividade do expoente de Lyapunov de cociclos quase periódicos de Schrodinger, como o teorema de Herman. O estudo de cociclos de Schrodinger representa um importante tópico na área de física matemática. Mais ainda, algumas das generalizações de tais critérios utilizam as técnicas de Benedicks-Carleson. === [en] The Benedicks and Carleson theorem states that for the quadratic family there exists a set of parameters, with positive measure, for which the Lyapunov exponent is positive at the critical point. In this dissertation we present a rigorous and detailed proof of this famous result. An important part of the proof is the study of the quasi periodic behavior of a set of orbits. In addition, a large deviation argument is used to show that parameters which do not satisfy the desired property form a small set. Such techniques have an intrinsic interest, as they have proven fruitful in the study of other problems in dynamical systems. Combining Benedicks-Carlesons theorem with Singers theorem, we conclude that for a set of parameters with positive measure, the corresponding quadratic function does not admit periodic attractors, indicating its chaotic behavior. In this work we also study criteria for the positivity of the Lyapunov exponent of quasi-periodic Schrodinger cocycles, such as Hermans theorem. The study of the Schrodinger cocycles represents an important topic in mathematical physics. Moreover, some of the generalizations of such criteria use the techniques of Benedicks-Carleson.