[en] METHODS OF THE REGULARITY THEORY IN THE STUDY OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH NATURAL GROWTH IN THE GRADIENT

• Main Author: GABRIELLE SALLER NORNBERG
• Other Authors: BOYAN SLAVCHEV SIRAKOV
• Language: en
• Published: MAXWELL 2019
• Subjects: [pt] EXISTENCIA; [en] EXISTENCE; [pt] VISCOSIDADE; [en] VISCOSITY; [pt] REGULARIDADE; [en] REGULARITY; [pt] MULTIPLICIDADE DE SOLUCOES; [en] MULTIPLICITY OF SOLUTIONS; [pt] ESTIMATIVAS A PRIORI; [en] A PRIORI ESTIMATES
• Online Access: https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=36015@1; https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=36015@2; http://doi.org/10.17771/PUCRio.acad.36015

[pt] Nesta tese de Doutorado estudamos uma classe de equações diferenciais parciais de segunda ordem, uniformemente elípticas, completamente não-lineares na forma não-divergência, com crescimento superlinear no gradiente e coeficientes mensuráveis. Para equações com crescimento quadrático, provamos que ocorre multiplicidade de soluções quando o operador não é coercivo e investigamos o comportamento qualitativo dos contínuos de soluções obtidos para uma família parametrizada de problemas. Para isso, estendemos a regularidade e as estimativas C1, alfa, de Caffarelli-Swiech-Winter para equações com crescimento, no máximo quadrático, no gradiente, mostrando que as soluções são continuamente diferenciáveis até o bordo. Além disso, mostramos estimativas a priori na norma uniforme via técnicas puramente não-lineares na forma não-divergência, entre elas desigualdades do tipo Harnack e o princípio do máximo forte de Vázquez para equações de nosso tipo. === [en] In this Ph.D. thesis we study a class of uniformly elliptic partial differential equations of second order in fully nonlinear nondivergence form with superlinear growth in the gradient and measurable coefficients. For equations with quadratic growth, we prove that multiplicity of solutions occurs when the operator is not coercive. We investigate the qualitative behavior of the continuums of solutions obtained for a parameterized family of problems. For this, we extend the Caffarelli-Swiech-Winter C1, alpha, regularity estimates to equations with at most quadratic gradient growth, showing that the solutions are continuously differentiable up to the boundary. Furthermore, we show a priori estimates in the uniform norm using purely nonlinear techniques in the nondivergence form, such as Harnack type inequalities and a Vázquez’s strong maximum principle for equations of our type.