[en] RIEMANN HILBERT PROBLEMS IN RANDOM MATRIX THEORY

• Main Author: PERCY ALEXANDER CACERES TINTAYA
• Other Authors: HIROSHI NUNOKAWA
• Language: en
• Published: MAXWELL 2016
• Subjects: [pt] POLINOMIOS ORTOGONAIS; [en] ORTHOGONAL POLYNOMIALS; [pt] TEORIA DAS MATRIZES ALEATORIAS; [pt] EMSEMBLE UNITARIO GAUSSIANO; [pt] GAS DE DYSON; [pt] PROBLEMAS DE RIEMANN-HILBERT; [pt] METODO DE MAXIMA GRADIENTE
• Online Access: https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=26432@1; https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/Busca_etds.php?strSecao=resultado&nrSeq=26432@2; http://doi.org/10.17771/PUCRio.acad.26432

[pt] Estudamos as noções básicas da Teoria das Matrizes Aleatórias e em particular discutimos o Emsemble Unitário Gaussiano. A continuação descrevemos o gaz de Dyson em equilíbrio e fora do equilíbrio que permite interpretar a informação estatística dos autovalores das matrizes aleatórias. Além desso mostramos descrições alternativas dessa informação estatística. Em seguida discutimos aspectos diferentes dos polinômios ortogonais. Uma dessas caracterizações é dada pelos problemas de Riemann-Hilbert. As técnicas dos problemas de Riemann-Hilbert são uma ferramenta eficaz e potente na Teoria das Matrizes Aleatórias a qual discutimos com mais cuidado. Finalmente usamos o método de máxima gradiente na análise assintótico dos polinômios ortogonais. === [en] We review the basic notions of the Random Matrix Theory and in particular the Gaussian Unitary Ensemble. In what follows we describe the Dyson gas in equilibrium and nonequilibrium that allows one to interpret the statistical information of the eigenvalues of random matrices. Furthermore we show alternative descriptions of this statistical information. In the following we discuss different aspects of orthogonal polynomials. One of these caracterizations is given by a Riemann Hilbert problem. Riemann Hilbert problem techniques are an efficient and powerfull tool for Random Matrix Theory which we discuss in more detail. In the final part we use the steepest descent method in the asymptotic analysis of orthogonal polynomials.