| Summary: | Tiivistelmä. Tutkielman aihe, Cayley-graafit, perustuu brittiläisen matemaatikon Arthur Cayleyn mukaan nimettyyn lauseeseen, jonka perusteella jokainen äärellisesti generoitu ryhmä voidaan esittää graafin symmetriaryhmän avulla. Kyseinen lause on laajennus hieman tunnetummasta Cayleyn lauseesta, jonka mukaan jokainen ryhmä on isomorfinen jonkin symmetrisen ryhmän aliryhmän eli permutaatioryhmän kanssa. Cayley-graafeja hyödynnetään ryhmien abstraktien rakenteiden havainnollistamisessa.
Jotta kyseiset tulokset voidaan todistaa, täytyy tutkielmassa perehtyä useisiin ryhmäteorian ja geometrisen ryhmäteorian osa-alueisiin. Ryhmäteorian osalta tärkeimpiä ovat erityisesti ryhmähomomorfismeihin liittyvät teoriat, joita tutkielmassa käsitellään suhteellisen laajasti. Tämän lisäksi työssä käsitellään erittäin paljon joukkojen permutaatioista koostuvia symmetrisiä ryhmiä sekä matemaattisten objektien symmetrioista koostuvia symmetriaryhmiä.
Cayleyn lauseiden ohella työn merkittävimpiä tuloksia ovat ryhmävaikutus sekä ryhmien generointi. Molemmat edellä mainituista ovat erittäin merkittävässä roolissa työn päätuloksen kannalta, sillä esimerkiksi ryhmän generaattorijoukkoa tarvitaan, kun ryhmälle halutaan määrittää sen Cayley-graafi. Ryhmävaikutukseen perehtyessä tutustutaan myös pisteen stabiloijaan sekä rataan.
Kokonaisuudessaan voisi todeta, että aihepiiri yhdistää hienosti todistuksissa vaadittavaa teoreettisuutta sekä esimerkeissä tarvittavaa geometristä hahmotuskykyä.
|
|---|
