Rubikin kuutio ja ryhmäteoria

• Main Author: Luokkanen, J. (Jani)
• Format: Dissertation
• Language: Finnish
• Published: University of Oulu 2018
• Subjects: Mathematics
• Online Access: http://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-201811082996; http://nbn-resolving.de/urn:nbn:fi:oulu-201811082996

Tutkielman tarkoitus on selvittää Rubikin kuution matemaattinen esitysmuoto ryhmäteorian keinoin. Tämän matemaattisen esitysmuodon rakentamiselle tarvittavat ryhmäteoreettiset tulokset ja rakenteet määritellään ja todistetaan lähtien perusasioista, kuten ryhmän ja aliryhmän määritelmistä, aliryhmyysehdoista, Lagrangen lauseesta jne. Ryhmille olennaisten ja perustavanlaatuisten tulosten jälkeen esitetään yksi olennaisimmista käsitteistä; permutaatio, sekä siihen liittyviä tuloksia ja käsitteitä, kuten symmetrinen ryhmä ja pariteetti. Tutkielma etenee ryhmien rakenneyhtäläisyyden, eli homomorfismin käsitteeseen, jota edelleen käytetään edellä määriteltyjen käsitteiden tärkeiden tulosten todistamiseen, kuten esimerkiksi siihen, että pariteettikuvaus on homomorfismi. Lisäksi määritellään rakenneyhtenevyys eli isomorfismi, ja todistetaan tärkeä homomorfismien peruslause, joka yhdistää isomorfismille luonnolliset joukot toisiinsa, jonka avulla Rubikin kuution ryhmän kertaluku saadaan selville. Ryhmien sisäisten operaatioiden ja välisten kuvausten jälkeen siirrytään ryhmien välisiin operaatioihin, joissa rakennetaan kuution ryhmärakenteen esitysmuodolle tarpeelliset käsitteet kuten suora tulo, ryhmän toiminta ja kranssitulo, jossa jokin ryhmä toimii toisen ryhmän suorassa tulossa. Lisäksi näistä rakenteista näytetään esimerkkejä, joiden avulla niiden merkitystä avataan. Näiden ryhmäteoreettisten käsitteiden ja tulosten jälkeen teoriaa käytetään itse Rubikin kuution mallintamiseen, kun ensin määritellään Rubikin kuutiosta erotettavat mallinnettavat osat, kuten palatyypit, ratkaistu kuutio, kääntö ja kombinaatio sekä sen ratkeavuus. Lisäksi tärkeässä osassa ovat permutaatio- ja orientaatiotilat, jotka sisältävät tiedot palojen sijainneista ja asennoista kuutiossa. Ennen kuution syvää käsittelyä osoitetaan yksinkertaisella tavalla ratkeavan Rubikin kuution todella olevan esitettävissä ryhmänä. Ryhmärakenne laajennetaan koskemaan kaikkia kombinaatioita, tarkastelussa, jossa permutaatio- ja orientaatiotilat esitetään aikaisemmin määritellyillä käsitteillä, erityisesti kranssitulolla sekä määriteltävällä ketjutusta vastaavalla operaatiolla. Tämän jälkeen kombinaatioiden joukosta karsitaan pois ne, joita ei voi ratkaista sivujen käännöillä osoittamalla kombinaation ratkeavuusehdot; permutaatiotilojen pariteetin yhtenevyys sekä orientaatiosummien nolla-arvoisuus. Tämän jälkeen ryhmärakenteen esitysmuoto on valmis. Tutkielman lopussa on lyhyt katsaus 2×2×2-kuutioon ja sen yhtäläisyyksiin ja eroavuuksiin verrattuna Rubikin kuutioon, jossa edetään samalla logiikalla kuin Rubikin kuution tarkastelussa.