Yhtälöiden ratkaisemisesta

• Main Author: Pekkala, A. (Antti)
• Format: Dissertation
• Language: Finnish
• Published: University of Oulu 2015
• Subjects: Mathematics
• Online Access: http://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-201501171028; http://nbn-resolving.de/urn:nbn:fi:oulu-201501171028

Tässä tutkielmassa käsitellään toisen, kolmannen, neljännen ja viidennen asteen yhtälön ratkaisemista. Ratkaisukaavojen olemassaolo osoitetaan neljänteen asteeseen asti, sekä sivutaan viidennen asteen ratkaisukaavan mahdottomuutta. Tutkielman alkuvaiheessa määritellään tarvittavat algebralliset käsitteet. Ensin muodostetaan renkaan ja kunnan käsitteet, joiden avulla muodostetaan polynomirenkaan käsite ja siihen liittyvät määritelmät. Polynomirenkaan rationaalilukukertoimista erikoistapausta käsitellään tämän jälkeen. Tämän avulla voidaan osoittaa Eisensteinin kriteeri, millä voidaan tarkistaa onko polynomi jaoton. Tutkielman varsinainen osuus koostuu yhtälöiden ratkaisemisesta. Työssä ratkaistaan toisen ja kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisukaavat ja määritellään näille diskriminantit. Myös neljännen asteen yhtälöt ratkaistaan, mutta näille ei muodosteta yleistä ratkaisukaavaa. Reaalijuurisille kolmannen asteen yhtälöille muodostetaan lisäksi trigonometriaan perustuva numeerinen ratkaisutapa. Tämän jälkeen vielä todetaan viidennen asteen yhtälöille olevan mahdotonta muodostaa yleistä ratkaisukaavaa. Tutkielman lopussa esitetään vielä lyhyt yhtälöiden ratkaisemisen historiaa käsittelevä osuus. Tutkielma on kirjallisuuskatsaus ja sen varsinainen osa perustuu J. J. Rotmanin teokseen ”A First Course In Abstract Algebra” (Upper Saddle River, New Jersey, USA: Prentice Hall, 2000).