Luupit

• Main Author: Keränen, A. (Anni)
• Format: Dissertation
• Language: Finnish
• Published: University of Oulu 2014
• Subjects: Mathematics
• Online Access: http://urn.fi/URN:NBN:fi:oulu-201404101263; http://nbn-resolving.de/urn:nbn:fi:oulu-201404101263

Tutkielmassa tutustutaan luuppeihin ja niiden ominaisuuksiin. Tutkielman lähteinä on käytetty pääasiassa Hala O. Pflugfelderin teosta Quasigroups and loops introduction, R. H. Bruckin teosta Contributions to the theory of loops sekä Kari Myllylän väitöskirjaa On the solvability of groups and loops. Tutkielman alussa esitellään määritelmiä ja tuloksia, joita tarvitaan myöhemmin tutkielmassa. Luvussa määritellään grupoidi G, joka on ei-tyhjä joukko varustettuna binäärisellä operaatiolla. Binäärinen operaatio on kuvaus, joka kuvaa kaksi joukon alkioita saman joukon alkioksi. Lisäksi luvussa määritellään siirtokuvaukset La ja Ra, missä a on joukon kiinnitetty alkio. Siirtokuvaus La operoi joukon alkiota vasemmalta puolelta alkiolla a ja siirtokuvaus Ra operoi joukon alkiota oikealta puolelta alkiolla a. Ensimmäisessä luvussa käsitellään myös hieman ryhmäteoriaa. Ei-tyhjä joukko A, joka on varustettu binäärisellä operaatiolla, on ryhmä, mikäli operaatio on assosiatiivinen eli liitännäinen joukossa A, joukossa A on olemassa neutraalialkio sekä jokaisella joukon A alkiolla on olemassa käänteisalkio, joka on myös joukon A alkio. Neutraalialkio on sellainen alkio, jonka operaatio joukon A alkion a kanssa, on alkio a. Alkion ja sen käänteisalkion operaatio on neutraalialkio. Toisessa luvussa määritellään luupit kolmella eri tavalla. Yhden määritelmän mukaan joukko Q varustettuna binäärisellä operaatiolla on luuppi, jos siirtokuvaukset La ja Ra ovat joukon Q bijektioita ja joukossa Q on olemassa neutraalialkio. Luvussa osoitetaan, että kaikki kolme luupin määritelmää ovat yhtäpitäviä. Lisäksi osoitetaan, että assosiatiivinen luuppi on ryhmä. Kolmannessa luvussa tutustutaan aliluuppeihin. Luupin Q ei-tyhjä osajoukko H on aliluuppi, jos se on luuppi. Ei-tyhjä osajoukko H voidaan todistaa aliluupiksi myös osoittamalla, että kolme paria (H,*), (H,/) ja (H,\) ovat grupoideja. Neljännessä luvussa tutustutaan luupin Q ytimeen N ja keskukseen Z. Luupin Q ydin N koostuu sellaisista luupin Q alkioista a, joille pätee (ax)y=a(xy), (xa)y=x(ay) ja (yx)a=y(xa) kaikilla luupin Q alkioilla x ja y. Jos luupin Q alkiolle a pätee myös ax=xa kaikilla luupin alkioilla x, niin alkio a kuuluu luupin Q keskukseen Z. Luupin Q keskus Z on luupin ytimen N osajoukko. Luupin ydin N ja keskus Z ovat luupin Q aliryhmiä. Luvussa viisi määritellään luupin Q alkion a vasen ja oikea käänteisalkio. Luupin alkioiden ja käänteisalkioiden avulla voidaan määritellä erilaisia luupin ominaisuuksia. Lisäksi luvussa määritellään erikoistapauksia luupeista. Kuudennessa luvussa esitellään luupin Q homomorfisuus, homomorfismin ydin ja homomorfismin kuva. Homomorfismin kuva ja ydin ovat luuppeja. Kaksi eri luuppia ovat isomorfisia, mikäli luuppien välillä on olemassa bijektiivinen homomorfismi. Luvussa seitsemän tutustutaan luupin Q kertolaskuryhmään M(Q). Kertolaskuryhmä M(Q) on ryhmä, joka muodostuu siirtokuvauksista eli permutaatioista La ja Ra sekä niiden käänteiskuvauksista. Sisäinen kertolaskuryhmä I(Q) koostuu niistä kertolaskuryhmän M(Q) permutaatioista, jotka kuvaavat neutraalialkion neutraalialkioksi.