| Summary: | Thesis (MSc)--Stellenbosch University, 2012. === ENGLISH ABSTRACT: This work employs perturbation techniques to price and hedge financial derivatives in a
stochastic volatility framework. Fouque et al. [44] model volatility as a function of two processes
operating on different time-scales. One process is responsible for the fast-fluctuating
feature of volatility and corresponds to the slow time-scale and the second is for slowfluctuations
or fast time-scale. The former is an Ergodic Markov process and the latter is
a strong solution to a Lipschitz stochastic differential equation. This work mainly involves
modelling, analysis and estimation techniques, exploiting the concept of mean reversion of
volatility. The approach used is robust in the sense that it does not assume a specific volatility
model. Using singular and regular perturbation techniques on the resulting PDE a first-order
price correction to Black-Scholes option pricing model is derived. Vital groupings of market
parameters are identified and their estimation from market data is extremely efficient and
stable. The implied volatility is expressed as a linear (affine) function of log-moneyness-tomaturity
ratio, and can be easily calibrated by estimating the grouped market parameters
from the observed implied volatility surface. Importantly, the same grouped parameters
can be used to price other complex derivatives beyond the European and American options,
which include Barrier, Asian, Basket and Forward options. However, this semi-analytic perturbative
approach is effective for longer maturities and unstable when pricing is done close
to maturity. As a result a more accurate technique, the decomposition pricing approach
that gives explicit analytic first- and second-order pricing and implied volatility formulae is
discussed as one of the current alternatives. Here, the method is only employed for European
options but an extension to other options could be an idea for further research. The
only requirements for this method are integrability and regularity of the stochastic volatility
process. Corrections to [3] remarkable work are discussed here. === AFRIKAANSE OPSOMMING: Hierdie werk gebruik steuringstegnieke om finansiële afgeleide instrumente in ’n stogastiese
wisselvalligheid raamwerk te prys en te verskans. Fouque et al. [44] gemodelleer wisselvalligheid
as ’n funksie van twee prosesse wat op verskillende tyd-skale werk. Een proses
is verantwoordelik vir die vinnig-wisselende eienskap van die wisselvalligheid en stem
ooreen met die stadiger tyd-skaal en die tweede is vir stadig-wisselende fluktuasies of ’n
vinniger tyd-skaal. Die voormalige is ’n Ergodiese-Markov-proses en die laasgenoemde is
’n sterk oplossing vir ’n Lipschitz stogastiese differensiaalvergelyking. Hierdie werk behels
hoofsaaklik modellering, analise en skattingstegnieke, wat die konsep van terugkeer
to die gemiddelde van die wisseling gebruik. Die benadering wat gebruik word is rubuust
in die sin dat dit nie ’n aanname van ’n spesifieke wisselvalligheid model maak nie. Deur
singulêre en reëlmatige steuringstegnieke te gebruik op die PDV kan ’n eerste-orde pryskorreksie
aan die Black-Scholes opsie-waardasiemodel afgelei word. Belangrike groeperings
van mark parameters is geïdentifiseer en hul geskatte waardes van mark data is uiters
doeltreffend en stabiel. Die geïmpliseerde onbestendigheid word uitgedruk as ’n lineêre
(affiene) funksie van die log-geldkarakter-tot-verval verhouding, en kan maklik gekalibreer
word deur gegroepeerde mark parameters te beraam van die waargenome geïmpliseerde
wisselvalligheids vlak. Wat belangrik is, is dat dieselfde gegroepeerde parameters gebruik
kan word om ander komplekse afgeleide instrumente buite die Europese en Amerikaanse
opsies te prys, dié sluit in Barrier, Asiatiese, Basket en Stuur opsies. Hierdie semi-analitiese
steurings benadering is effektief vir langer termyne en onstabiel wanneer pryse naby aan
die vervaldatum beraam word. As gevolg hiervan is ’n meer akkurate tegniek, die ontbinding
prys benadering wat eksplisiete analitiese eerste- en tweede-orde pryse en geïmpliseerde
wisselvalligheid formules gee as een van die huidige alternatiewe bespreek. Hier
word slegs die metode vir Europese opsies gebruik, maar ’n uitbreiding na ander opsies
kan’n idee vir verdere navorsing wees. Die enigste vereistes vir hierdie metode is integreerbaarheid
en reëlmatigheid van die stogastiese wisselvalligheid proses. Korreksies tot [3] se
noemenswaardige werk word ook hier bespreek.
|
|---|
