| Summary: | Thesis (MSc)--Stellenbosch University, 2004. === ENGLISH ABSTRACT: In this thesis, generalized Dyson boson-fermion mappings are considered. These are
techniques used in the analysis of the quantum many-body problem, and are instances
of so-called boson expansion methods. A generalized Dyson boson-fermion mapping, or
a Dyson mapping for short, is a one-to-one linear but non-unitary operator that can be
applied to vectors representing the states of a many-fermion system. A vector representing
a fermion system maps onto a vector that is most naturally interpreted as representing
a state of a many-body system that contains both bosons and fermions. The motivation
for doing such a mapping is the hope that the mapping will reveal some property of the
system that simplifies its analysis and that was hidden in the original form. The aims of
this thesis are
1. to review the theory of generalized Dyson boson-fermion mappings,
2. by considering a tutorial example, to demonstrate that it is feasible to implement
the theory and
3. to find a useful application for a generalized Dyson boson-fermion mapping, by
considering a non-trivial model, namely the Richardson model for superconductivity.
The realization of the first two aims mainly involve the collecting together of ideas that
have already appeared in the literature, into one coherent text. Some subtle points that
were treated only briefly due to space restrictions in the journal publications where the
theory was first expounded, are elaborated on in the present work. On the other hand, the
analysis of the Richardson Hamiltonian that uses a Dyson mapping, goes beyond what has
already appeared in the literature. It is the first time that a boson expansion technique
is implemented for a system where the roles of both collective and non-collective fermion
pairs are important. (The Dyson mapping associates bosons with Cooper pairs, while
the fermions not bound in Cooper pairs result in fermions being present in the mapped
system as well.) What is found is that the Dyson mapping uncovers non-trivial properties
of the system. These properties aid the construction of time-independent perturbation
expansions for the stationary states of the system, as well as time-dependent expansions
for transition amplitudes between states. The time-independent expansions agree with
results that other authors obtained through methods other than boson expansions. The
time-dependent expansions, that one would be hard-pressed to develop without a Dyson
mapping, might in future prove useful in understanding aspects of the dynamics of ultracold
fermi gases, when time-dependent magnetic fields are used to vary the atom-atom
interaction strenght. === AFRIKAANSE OPSOMMING: In hierdie tesis word veralgemeende Dyson boson-fermion-afbeeldings ondersoek. Hierdie
afbeeldings word gebruik in die analise van die kwantum veeldeeltjie probleem, en is
voorbeelde van sogenaamde boson-uitbreidingstegnieke. 'n Veralgemeende Dyson bosonfermion-
afbeelding, of kortweg 'n Dyson afbeelding, is 'n een-tot-een, lineêre maar nie-unitêre
operator wat inwerk op vektore wat toestande verteenwoordig van 'n veel-fermion
sisteem. 'n Vektor wat 'n fermionsisteem verteenwoordig word so afgebeeld op 'n vektor
waarvoor die mees natuurlike interpretasie is dat dit 'n toestand verteenwoordig van 'n
sisteem waarin beide bosone en fermione aanwesig is. So 'n afbeelding word gewoonlik
gemaak in die hoop dat eienskappe van die sisteem, wat versteek was in die oorspronklike
weergawe, voor-die-hand-liggend is na die afbeelding. Hierdie tesis het ten doel
1. om die teorie van veralgemeende Dyson boson-fermion-afbeeldings te hersien,
2. om 'n eenvoudige voorbeeld deur te werk, en so te demonstreer dat die teorie sonder
moeite geïmplimenteer kan word en
3. om 'n nuttige toepassing te vind vir 'n veralgemeende Dyson boson-fermion-afbeelding
deur 'n nie-triviale model, naamlik die Richardson model vir supergeleiding, te
ondersoek.
Die eerste twee van hierdie doelwitte behels hoofsaaklik dat idees wat reeds in die literatuur
verskyn het, saamgevat word in een koherente teks. Sommige subtiele punte wat,
vanwee beperkte ruimte, slegs kortliks bespreek is in die joernaalartikels waarin die teorie
oorspronklik verskyn het, word in hierdie tesis meer breedvoering bespreek. Daarteenoor
verteenwoordig die analise van die Richardson model met behulp van 'n Dyson afbeelding
'n nuwe bydra. Dit is naamlik die eerste keer dat 'n bosonuitbreiding ingespan word vir 'n
sisteem waar sowel kollektiewe as nie-kollektiewe fermionpare 'n belangrike rol speel. (Die
Dyson afbeelding assosieer bosone met die oorspronklike sisteem se Cooper pare, terwyl
die fermione wat in die oorspronklike sisteem nie tot Cooper pare gebind is nie, sorg dat
daar ook fermione teenwoordig is in die afgebeelde sisteem.) Ons vind dat die Dyson
afbeelding nie-triviale eienskappe van die sisteem aan die lig bring. Hierdie eienskappe
is nuttig vir die konstruksie van beide tyd-onafhanklike steuringsreekse vir die stasionêre
toestande van die sisteem en vir tyd-afhanklike steuringsreekse vir oorgangsamplitudes
tussen toestande. Die tyd-onafhanklike uitbreidings stem ooreen met resultate wat ander
outeurs afgelei het sonder die gebruik van 'n Dyson afbeelding. Die tyd-afhanklike uitbreidings,
wat kwalik afgelei kan word sonder 'n Dyson afbeelding, mag vorentoe nuttig
wees om aspekte van die dinamika van baie koue Fermi gasse te verstaan, wanneer tydafhanklike
magneetvelde gebruik word om die inter-atoomwisselwerking te manipuleer.
|
|---|
