Orthogonal Polynomials, Operators and Commutation Relations

• Main Author: Musonda, John
• Format: Others
• Language: English
• Published: Mälardalens högskola, Utbildningsvetenskap och Matematik 2017
• Subjects: Mathematical Analysis; Matematisk analys
• Online Access: http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:mdh:diva-35204; http://nbn-resolving.de/urn:isbn:978-91-7485-320-9

Orthogonal polynomials, operators and commutation relations appear in many areas of mathematics, physics and engineering where they play a vital role. For instance, orthogonal functions in general are central to the development of Fourier series and wavelets which are essential to signal processing. In particular, as demonstrated in this thesis, orthogonal polynomials can be used to establish the L2-boundedness of singular integral operators which is a fundamental problem in harmonic analysis and a subject of extensive investigations. The Lp-convergence of Fourier series is closely related to the Lp-boundedness of singular integral operators. Many important relations in physical sciences are represented by operators satisfying various commutation relations. Such commutation relations play key roles in such areas as quantum mechanics, wavelet analysis, representation theory, spectral theory, and many others. This thesis consists of three main parts. The first part presents a new system of orthogonal polynomials, and establishes its relation to the previously studied systems in the class of Meixner–­Pollaczek polynomials. Boundedness properties of two singular integral operators of convolution type are investigated in the Hilbert spaces related to the relevant orthogonal polynomials. Orthogonal polynomials are used to prove boundedness in the weighted spaces and Fourier analysis is used to prove boundedness in the translation invariant case. It is proved in both cases that the two operators are bounded on L2-spaces, and estimates of the norms are obtained. The second part extends the investigation of the boundedness properties of the two singular integral operators to Lp-spaces on the real line, both in the weighted and unweighted spaces. It is proved that both operators are bounded on these spaces and estimates of the norms are obtained. This is achieved by first proving boundedness for L2 and weak boundedness for L1, and then using interpolation to obtain boundedness for the intermediate spaces. To obtain boundedness for the remaining spaces, duality is used in the translation invariant case, while the weighted case is partly based on the methods developed by M. Riesz in his paper of 1928 for the conjugate function operator. The third and final part derives simple and explicit formulas for reordering elements in an algebra with three generators and Lie type relations. Centralizers and centers are computed as an example of an application of the formulas. === Ortogonala polynom, operatorer och kommutationsrelationer förekommer i många områden av matematik, fysik och teknik där de spelar en viktig roll. Till exempel ortogonala funktioner i allmänhet är centrala för utvecklingen av Fourierserier och wavelets som är väsentliga för signalbehandling. I synnerhet, såsom visats i denna avhandling, kan ortogonala polynom användas för att fastställa L2-begränsning av singulära integraloperatorer vilket är ett fundamentalt problem i harmonisk analys och föremål för omfattande forskning. Lp-konvergensen av Fourierserien är nära relaterad till Lp-begränsning av singulära integraloperatorer. Många viktiga relationer i fysik representeras av operatorer som uppfyller olika kommutationsrelationer. Sådana kommutationsrelationer spelar nyckelroller i områden som kvantmekanik, waveletanalys, representationsteori, spektralteori och många andra. Denna avhandling består av tre huvuddelar. Den första delen presenterar ett nytt system av ortogonala polynom, och etablerar dess förhållande till de tidigare studerade systemen i klassen Meixner–Pollaczek-polynom. Begränsningsegenskaper hos två singulära integraloperatorer av faltningstyp utreds i Hilbertrum relaterade till de relevanta ortogonala polynomen. Ortogonala polynom används för att bevisa begränsning i viktade rum och Fourieranalys används för att bevisa begränsning i det translationsinvarianta fallet. Det bevisas i båda fallen att de två operatorerna är begränsade på L2-rummen, och uppskattningar av normerna tas fram. Den andra delen utvidgar till Lp-rum på reella tallinjen undersökningen av begränsnings­egenskaperna hos de två singulära integral­operatorerna, både på viktade och oviktade rum. Det bevisas att de båda operatorerna är begränsade på dessa rum och uppskattningar av normerna erhålls. Detta uppnås genom att först bevisa begränsning för L2 och svag begränsning för L1, och sedan använda interpolation att erhålla begränsning för de mellanliggande rummen. För att erhålla begränsning för övriga Lp-rum används dualitet i det translationsinvarianta fallet, medan detta i det viktade fallet delvis bygger på en metod av M. Riesz i hans artikel från 1928 om konjugatfunktions­operatorn. Den tredje och sista delen härleder enkla och explicita formler för omkastning av element i en algebra med tre generatorer och relationer av Lie-typ. Som ett exempel på en tillämpning av formlerna beräknas centralisatorer och centra.