Parallel Minimum Cuts : An improved CREW PRAM algorithm

• Main Author: López Martínez, Andrés
• Format: Others
• Language: English
• Published: KTH, Skolan för elektroteknik och datavetenskap (EECS) 2020
• Subjects: Computer Sciences; Datavetenskap (datalogi)
• Online Access: http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-287962

This thesis considers the minimum cut problem in undirected, weighted graphs. We present a simple randomized CREW PRAM algorithm to find the minimum cut in a graph G with n nodes and m edges, based on Karger’s celebrated randomized near-linear time min-cut algorithm [STOC’96]. It has near-linear work O(m log2 n + n log6 n) and low depth O(log3 n), and returns the correct result with high probability. This is the first improvement to the best previous O(m log4 n) work and O(log3 n) depth CREW PRAM min-cut algorithm by Geissmann and Gianinazzi [SPAA’18]. For his randomized near-linear min-cut algorithm, Karger used a connection between minimum cuts and maximum packings of spanning trees to reduce the min-cut problem into two subproblems: (i) compute an approximate maximum tree packing S, and (ii) find the minimum cut of the graph G that cuts at most two edges from some tree in S—this is referred to as the 2-respecting min-cut problem. To achieve our main result, we give parallel algorithms for both subproblems. More precisely, we present the following.  An O(m log n + n log5 n) work and O(log2 n) depth CREW PRAM algorithm for the 2-respecting min-cut problem. This is obtained from parallelizing a recent sequential algorithm by Mukhopadhay and Nanongkai [STOC’20] that improves on Karger’s original result.  An O(m log2 n + n log4 n) work and O(log3 n) depth EREW PRAM algorithm to find an approximate maximum tree packing. This improves in a log n factor the work of the previously best known bound claimed by Karger [STOC’96] and used by Geissmann and Gianinazzi [SPAA’18].  In addition, we develop the following independent results:  A parallel implementation of the range tree data structure in two dimensions: given a set of n weighted points in the plane, it can be constructed using O(n log n) work and O(log2 n) depth on an EREW PRAM. In the CREW PRAM model, it supports the range counting, range reporting, and range sum queries work-optimally with O(log n) depth.  An O(log2 n+t log n)-time sequential algorithm to answer a 2-dimensional weighted range sampling query in a range tree on n weighted points. The query is defined as follows: given an integer t, sample t points independently from a query range, where each point is selected with probability proportional to its weight. In the CREW PRAM model, we show how to support this query work-optimally with O(log n) depth.  === Denna avhandling behandlar minsta-snittproblemet i oriktade, viktade grafer. För att hitta det minsta snittet i en graf G med n noder och m kanter presenterar vi en enkel slumpbaserad CREW PRAM algoritm som är baserad på Kargers berömda, slumpbaserade, minsta-snittalgoritm med nära-linjär körtid [STOC’96]. Vår algoritm kräver nära-linjärt arbete O(m log2 n + n log6 n) och lågt djup O(log3 n), och är korrekt med hög sannolikhet. Detta är den första förbättringen till den tidigare bästa CREW PRAM minsta-snittalgoritmen av Geissmann och Gianinazzi [SPAA’18] som kräver O(m log4 n) arbete och har O(log3 n) djup. I sin slumpbaserade och nära-linjära minsta-snittalgoritm använder sig Karger av ett samband mellan minsta snitt och maximala packningar av uppspännande träd vilket förminskar problemet till två delproblem: (i) beräkna en approximativ maximal packning av uppspännande träd S, och (ii) hitta minsta snittet av grafen G som har som mest två kanter i något träd i S—känt som det 2- respekterande minsta-snittproblemet. För att åstadkomma vårt huvudresultat ger vi parallella algoritmer för båda delproblemen. Mer specifikt så presenterar vi följande. En CREW PRAM algoritm för det 2-respekterande minsta-snittproblemet som kräver O (m log n+n log5 n) arbete och vars djup är O(log2 n). Vi erhåller detta från att parallellisera en ny sekventiell algoritm av Mukhopadhay och Nanongkai [STOC’20] vilken i sig förbättrar Kargers ursprungliga resultat. En EREW PRAM algoritm för att beräkna en approximtiv maximal packning av uppspännande träd som kräver O (m log2 n + n log4 n) arbete och vars djup är O (log3 n). Detta förbättrar den tidigare bästa gränsen för minsta arbete med en faktor log n, hävdad av Karger [STOC 96], och som används av Geissmann och Gianinazzi [SPAA 18]. Utöver detta utvecklar vi följande självständiga resultat: En parallell implementation av ett värdemängdsträd i två dimensioner: givet en mängd av n viktade punkter i planet så kan den konstrueras genom O(n log n) arbete och med O(log2 n) djup genom en EREW PRAM algoritm. I CREW PRAM modellen så stödjer den värdemängdsräkning, värdemängdsrapportering, och förfrågor om värdemängdssummationer optimalt med avseende på arbetet och med O(log n) djup. En sekventiell algoritm med O(log2 n + t log n) körtid för att besvara en förfrågan av ett 2-dimensionellt viktat värdemängdsstickprov i ett värdemängdsträd på n viktade punkter. Förfrågan definieras som följande: givet ett heltal t, välj slumpmässigt oberoende t punkter ur en värdetalsmängd. Varje punkt väljs med sannolikhet proportionell till sin vikt. I CREW PRAM modellen visar vi hur man kan stödja förfrågan optimalt med avseende på arbetet och med O(log n) djup.