Limit Shapes for qVolume Tilings of a Large Hexagon

• Main Author: Ahmed, Bako
• Format: Others
• Language: English
• Published: KTH, Matematik (Avd.) 2020
• Subjects: Combinatorics; graph theory; orthogonal polynomials; Matematik; kombinatorik; grafteori; ortogonala polynom; Mathematics
• Online Access: http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-280758

Lozenges are polygons constructed by gluing two equilateral triangles along an edge. We can fit lozenge pieces together to form larger polygons and given an appropriate polygon we can tile it with lozenges. Lozenge tilings of the semi-regular hexagon with sides A,B,C can be viewed as the 2D picture of a stack of cubes in a A x B x C box. In this project we investigate the typical shape of a tiling as the sides A,B,C of the box grow uniformly to infinity and we consider two cases: The uniform case where all tilings occur with equal probability and the q^Volume case where the probability of a tiling is proportional to the volume taken up by the corresponding stack of cubes. To investigate lozenge tilings we transform it into a question on families of non-intersecting paths on a corresponding graph representing the hexagon. Using the Lindström–Gessel–Viennot theorem we can define the probability of a non-intersecting path crossing a particular point in the hexagon both for the uniform and the $q$-Volume case. In each case this probability function is connected to either the Hahn or the $q$-Hahn orthogonal polynomials. The orthogonal polynomials depend on the sides of the hexagon and so we consider the asymptotic behaviour of the polynomials as the sides grow to infinity using a result due to Kuijlaars and Van Assche. This determines the density of non-intersecting paths through every point in the hexagon, which we calculate, and a ``Arctic curve" result which shows that the six corners of the hexagon are (with probability one) tiled with just one type of lozenge. === "Lozenger" är polygoner konstruerade genom att limma två liksidiga trianglar längs en kant. Vi kan montera lozengstycken ihop för att bilda större polygoner och med en lämplig polygon kan vi lozengplatta den. Lozengplattor av den semi-liksidiga hexagonen med sidorna A, B, C kan ses som 2D-bilden av en stapel kuber i en A x B x C-box. I det här projektet undersöker vi den typiska formen på en platta när sidorna A, B, C på rutan växer till oändlighet och vi tar an två fall: Det likformiga fallet där alla plattor sker med samma sannolikhet och q ^ Volymfallet då sannolikheten för en platta är proportionell mot volymen som tas upp av motsvarande kubstapel. För att undersöka plattor förvandlar vi det till en fråga om samlingar av icke-korsande vägar på en motsvarande graf som representerar hexagonen. Med hjälp av satsen Lindström – Gessel – Viennot kan vi definiera sannolikheten för att en icke-korsande väg går genom en viss punkt i hexagonen både för det enhetliga och $ q $ -volymfallet. I båda fallen är dessa sannolikhetsfunktioner relaterade till Hahn eller $ q $ -Hahn ortogonala polynomer. Dessa ortogonala polynom beror på hexagonens sidor så vi betraktar polynomens asymptotiska beteende när sidorna växer till oändlighet genom ett resultat från Kuijlaars och Van Assche. Detta bestämmer densiteten för de icke-korsande vägarna genom varje punkt i det hexagon vi beräknar. Detta bestämmer också också en '' arktisk kurva '' som visar att hexagonens sex hörn är (med sannolikhet ett) plattade med bara en typ av lozeng.