| Summary: | The Bose-Einstein condensate is a phase of matter that arises when cooling gases of bosons to extremely low temperatures. When studying these condensates one may use the Gross-Pitaevskii equation, which is a non-linear variant of the Schrödinger equation. An interesting phenomenon that arises when rotating a Bose-Einstein condensate is the appearance of vortices. We implement a semi-implicit Euler scheme using spectral methods proposed in [1] to numerically calculate the ground state of a rotating Bose-Einstein condensate. We start with implementing a simpler iterative fixed-point method to solve the Euler scheme but show that this method fails to converge for large rotations. Because of this we implement multiple Krylov subspace solvers that in fact do converge for large rotations and show that the Preconditioned Conjugate Gradient method has better performance than the BiConjugate Gradient Stabilized method. After the implementation we briefly look at the performance of the method and improve it with simple tricks that do not compromise the accuracy or robustness and which reduce the computation time slightly. Lastly we look at the formation of vortices in 2-dimensional and 3-dimensional Bose-Einstein condensates. We show that the number of vortices increases exponentially for increasing angular velocity in 2D until the condensate breaks apart, but in 3D we ultimately find that the required computation time and RAM storage is too large to be able to analyze the vortices in a similar way on our personal computers. === Bose-Einstein-kondensat är en fas som uppstår vid nedkylning av bosoner till extremt låga temperaturer. För att studera dessa kondensat går det att använda Gross-Pitaevskii-ekvationen, vilket är en icke-linjär variant av Schrödinger-ekvationen. Ett intressant fenomen som uppstår när ett Bose-Einstein-kondensat roteras är framträdandet av virvlar. Vi implementerar ett semi-implicit Euler-system med hjälp av spektralmetoder som föreslogs i [1] för att numeriskt beräkna grundtillståndet för ett roterande Bose-Einstein-kondensat. Vi börjar med att implementera en enklare iterativ fixpunkts-metod för att lösa detta system men visar att denna metod inte konvergerar för stora rotationer. På grund av detta implementerar vi flera Krylov-delrums-metoder som faktiskt konvergerar för stora rotationer och visar att Preconditioned Conjugate Gradient-metoden har bättre prestanda än BiConjugate Gradient Stabilized-metoden. Efter denna implementation undersöker vi kort prestandan av metoden och förbättrar den med några enkla trick som inte påverkar noggrannheten eller robustheten och som minskar beräkningstiden något. Slutligen studerar vi formationen av virvlar i 2-dimensionella och 3-dimensionella Bose-Einstein-kondensat. Vi visar att antalet virvlar ökar exponentiellt för ökande vinkelhastighet i 2D tills kondensatet går sönder, men i 3D finner vi till slut att beräkningstiden och RAM-användningen är för stor för att göra en liknande analys av virvlarnas beteende på våra egna datorer.
|
|---|
