| Summary: | Tillförlitliga beräkningsverktyg är generellt av stor betydelse för att förstå processerna i världen omkring oss, och i synnerhet är simulering av flöden i reservoarer viktigt för att kunna bemöta vår tids stora krav. Exempelvis är stabil grundvattenförsörjning, hållbar utvinning av olja, och säker förvaring av kärnavfall beroende av reservoarsimuleringar. I det här kandidatexamensarbetet, kommer två metoder för att diskretisera Poissons ekvation med variabla koeficenter att implementeras och jämföras. Ekvationen är en partiell differentialekvation som beskriver stationärt inkompressibelt flöde i ett poröst medium, en allestädes närvarande process i reservoarer. I den första metoden används Taylorexpansioner för de diskreta punkterna (Finita Differensmetoden), och i den andra, används fluxkonceptet för att ställa upp kontinuitetssamband mellan celler (Finita Volymmetoden, här O- metoden). Dessa ger upphov till olika stenciler, som kan ses som recept för att diskretisera ekvationen. Medan den tidigare tas fram för att ge en viss numerisk konsistens, bygger den senare på principen om lokalt bevarande av flux. Stencilerna bedöms utifrån deras konvergensordning, och två tester genomförs för att se vilken som är den mest noggranna. Därav implementeras de på ett kartesiskt rutnät, och den numeriska lösningens avstånd från den analytiska uppmäts. Testerna görs med en full, heterogen tensor, som i fall 1 varierar snällt över hela området. I detta fall bedöms felet hos bägge stencilerna vara proportionellt mot h2, där här steglängden. FDM-stencilen reducerar felet med 12% jämfört med FVM-stencilen. I fall 2 införs ett diskontinuitetssprång i permeabiliteten vilket häver konvergensen av andra ordningen för bägge stencilerna, samtidigt som FVM-metoden konvergerar snabbare. Intressant nog är konvergensen inte korrelerad med storleken på språnget. Det föreslås att experiment som använder andra nätförfiningstekniker kan föra jämförelsen längre. Resultaten illustrerar att i fallet med kontinuerligt medium, konvergerar en enkel Taylor-expansion av samma ordning som den mer utarbetade O-metoden. Testerna kan dessutom visa att O-metoden konvergerar till andra ordningen för heterogena media; detsamma visades för homogena av Aavatsmark. Dessutom visar tester på diskontinuerliga media att O-metoden presterar bättre än Taylormetoden även om den förlorar andra ordningens konvergens. === Reliable computational tools are important in general to understand the vari- ous processes around us, and the simulation of flow in reservoirs in particular is vital for responding to some of our time’s urgent demands. For instance, stable groundwater basins, sustainable oil extraction, and safe nuclear waste repositories all require reservoir simulation. In this thesis, two methods for discretizing Poisson’s equation with variable coecients will be implemented and compared. This equation is a partial di↵er- ential equation that describes stationary, incompressible fluid flow in a porous medium: an ubiquitous process in reservoirs. In the first method, Taylor ex- pansions are used for discrete points (the Finite Di↵erence method), and in the second one, the concept of flux makes it possible to state continuity relations be- tween cells (the Finite Volume method, here the O-method). The methods yield di↵erent stencils which may be thought of as recipes for discretizing the equa- tion. While the former is a derived to obtain a certain numerical consistency, the last method is derived on principles of local flux conservation. The stencils are judged by their convergence rate, and two tests are per- formed to see which is the more accurate stencil. Both are implemented on a Cartesian grid, and it is measured how far the numerical solutions are from the analytical one. The tests are carried out with a full, heterogenous permeability tensor, which in case 1 varies smoothly over the whole domain. In this case it is found that the error series of both stencils are proportional to h2, where h is the step size. The FDM stencil reduces the error with 12% compared to the FVM stencil. In case 2, an imposed discontinuity ”gap” in the permeability leads to a convergence rate in the interval [0.73, 1.11], but the FVM stencil has a higher convergence rate than the FDM stencil. Curiously, the convergence rate are not correlated to the magnitude of the gap. Experiments using other grid refinement techniques are suggested to carry the comparison further. The results illustrate that in the case of continuous media, a straight-forward Taylor expansion of the equation is converging with the same convergence rate as the more elaborate O-method. The testings can furthermore verify that the O-method converges to second order for heterogeneous media, which was proved for homogeneous media by Aavatsmark. Moreover, tests on discontinous media show that the O-method performs slightly better than the Taylor method while losing the second order convergence.
|
|---|
