| Summary: | When leaving classical physics and entering the realm of quantum physics, there are many new concepts being introduced. One of the most fundamental ideas in quantum mechanics is that particles no longer have exact known positions, but instead expected values and prob- abilities. This leads to the phenomena of truly identical particles, since they no longer can be distinguished simply by their positions. An important property differentiating different kinds of particles is how a system behaves when two such identical particles are exchanged. Historically, this divided particles into bosons and fermions, corresponding to symmetry and antisymmetry under an exchange. However, in two dimensions a new type of particle appears. These particles are called anyons, and behave differently when particles are exchanged. Anyons can be further divided into abelian and non-abelian anyons, of which this thesis will focus on the latter. The ex- changes can then be represented by the fundamental group of the configuration space of the particles, and in two dimensions this fundamental group is the braid group. Using rotors from a Clifford algebra and studying excitations of Majorana fermions, this thesis will show a way to calculate the exchange matrices of non-abelian anyons, and their corresponding eigenvalues. Furthermore, suggestions on a generalization of this framework along with areas where it can be applied are given. === När man lämnar klassisk fysik och övergår till den kvantfysikaliska världen introduceras många nya koncept. En av de mest grundläggande idéerna inom kvantmekaniken är att partiklar inte längre har exakta positioner, eftersom dessa ersatts av väntevärden och sannolikheter. Detta leder till fenomenet att partiklar kan vara verkligt identiska, eftersom de inte längre kan särskiljas med hjälp av sina positioner. En viktig egenskap som särskiljer olika typer av partiklar är hur ett system beter sig vid ett utbyte av två sådana identiska partiklar. Historiskt sett delade denna egenskap upp partiklar i bosoner och fermioner, som uppvisar symmetri respektive antisymmetri vid ett partikelutbyte. I två dimensioner uppstår dock en ny typ av partiklar. Dessa partiklar kallas anyoner och beter sig annorlunda vid ett partikelutbyte. Vidare kan de delas upp i abelska och icke-abelska anyoner, varav denna rapport kommer fokusera på de senare. Utbytena kan representeras av den fundamentala gruppen av partiklarnas konfigurationsrum, och i två dimensioner blir denna fundamentala grupp flätgruppen. Genom att använda rotorer från en Cliffordalgebra och studera excitationer av Majoranafermioner, så visar denna rapport ett sätt att beräkna utbytesmatriserna för icke-abelska anyoner och deras tillhörande egenvärden. Vidare ges förslag på en generalisering av detta ramverk, tillsammans med områden där det kan tillämpas.
|
|---|
