Matematiska biljarder och KAM teori.

• Main Author: Bylund, Mats
• Format: Others
• Language: Swedish
• Published: KTH, Matematik (Inst.) 2014
• Online Access: http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:kth:diva-147665

En matematisk biljard är en idealisering av det fysiska spelet vari man betraktar kollisionerna av en punktmassa i rörelse innanför ett slutet område. Studiet av matematiska biljarder motiveras delvis av mekaniska samt optiska system men det ges även exempel på rent matematiska sådana. Denna något lekfulla inkörsport till det generellare studiet av dynamiska system visar sig vara en slagkraftig sådan, och rapporten tar upp några viktiga begrepp inom studiet av matematiska biljarder såsom biljardavbildingen samt kaustikor. Denna rapport ämnar även tillhandage en kort introduktion till KAM teori, en teori först introducerad av Andrej Kolmogorov för att delvis lösa problem inom celest mekanik. Det bevisas två satser inom denna teori, båda starkt beroende av tidigare resultat i rapporten samt av det som introduceras som det diofantiska villkoret. === A mathematical billiard is an idealization of the real, physical, game where one studies the collisions of a point mass within a closed area. The study of mathematical billiards is partly motivated by both mechanical and optical systems, but also by pure mathematical ones. This approach to the more general study of dynamical systems is not to be dismissed by its playfulness, and this report highlights some important concepts of mathematical billiards such as the billiard map and the notion of a caustic. Moreover, the aim of this rapport is also to give a short introduction to KAM theory; a theory first developed by Andrej Kolmogorov to partly solve problems in celestial mechanics. This rapport proves two KAM theorems, both heavily dependent on previews results in the rapport and also on, what will be introduced as, the Diophantine condition.