| Summary: | Tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática === El Proceso de Contacto es un proceso de Markov introducido por Ted Harris en 1974 como un modelo de propagación de infecciones en una red. En este modelo, la red está conformada por individuos que, de estar infectados, pueden recuperarse de la enfermedad o propagarla a vecinos sanos. A pesar de ser un modelo muy simple, el Proceso de Contacto ha sido estudiado en detalle durante los últimos cuarenta años, debido a su capacidad de reflejar algunas de las características más notables de las enfermedades infecciosas, tales como una fuerte dependencia de su comportamiento sobre la red, y la existencia de un valor crítico para su tasa de infección que divide las enfermedades en ``débiles'' y ``fuertes'', donde las primeras mueren rápidamente, mientras que las segundas sobreviven por largos períodos de tiempo.
Desde los inicios del estudio de este proceso, se ha dedicado una cantidad de esfuerzo considerable a intentar comprender cómo este es afectado por las características de la red subyacente. Sin embargo, en todos estos esfuerzos se ha considerado que la red es estática en el tiempo, mientras que las redes observadas en la realidad son dinámicas por naturaleza, un aspecto fundamental que ha recibido escasa atención. Esta tesis consiste de tres trabajos relacionados con este tema:
En el primer problema estudiamos el Proceso de Contacto sobre un grafo aleatorio finito de escala libre, al cual dotamos de una dinámica estacionaria en que cada vértice actualiza todas sus conexiones de forma simultánea a una tasa que depende de su grado esperado. En este trabajo identificamos y analizamos cuatro posibles estrategias con las cuales la infección puede sobrevivir por largos períodos de tiempo. Mostramos que la estrategia más exitosa determina la forma asintótica de la densidad metaestable cuando la tasa de infección tiende a cero, y que cuando ninguna de estas estrategias tiene éxito la infección muere rápidamente.
En el segundo problema estudiamos el Proceso de Contacto sobre el lattice uno-dimensional bajo percolación dinámica con rapidez v. A diferencia del caso de percolación estática, las componentes conexas del grafo se dividen y fusionan constantemente, permitiendo a la infección moverse a través de todo el grafo, lo que le permite sobrevivir. En nuestros resultados probamos que para valores bajos de v el proceso se extingue mientras que para valores altos de este parámetro, se comporta como un Proceso de Contacto regular en Z.
En el tercer problema estudiamos un modelo de poblaciones a tiempo discreto en que varias especies compiten por espacio en una red, mediante un mecanismo de propagación similar a un Proceso de Contacto multiespecie, mientras que simultáneamente son atacadas por epidemias. Nuestros resultados principales muestran que para el modelo de dos especies, existen regiones explícitas en el dominio de los parámetros dentro de los cuales podemos observar dominación o coexistencia; esto contrasta con el comportamiento del modelo sin epidemias, en las cuales la especie más apta siempre domina a las otras. === CONICYT-PCHA/Doctorado nacional/2014-21141160 y
CMM Conicyt PIA AFB170001
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